Massimi e minimi assoluti di una funzione a due variabili
Buonasera ragazzi, ho bisogno di voi.
Devo calcolare i massimi e minimi assoluti della funzione $(3 - x^2 - y^2)e^(y^2)$ in un cerchio di centro l'origine e raggio $2$. Ho calcolato i punti critici e sono $(0, 0)$, $(0, pm sqrt2)$ e noto che sono tutti e 3 interni al cerchio.
Posso semplicemente studiare i valori che la funzione assume in questi punti, con il più grande che sarà di massimo assoluto e il più piccolo che sarà di minimo assoluto ?
Vi ringrazio !
Devo calcolare i massimi e minimi assoluti della funzione $(3 - x^2 - y^2)e^(y^2)$ in un cerchio di centro l'origine e raggio $2$. Ho calcolato i punti critici e sono $(0, 0)$, $(0, pm sqrt2)$ e noto che sono tutti e 3 interni al cerchio.
Posso semplicemente studiare i valori che la funzione assume in questi punti, con il più grande che sarà di massimo assoluto e il più piccolo che sarà di minimo assoluto ?
Vi ringrazio !
Risposte
Secondo me devi vedere anche cosa accade sul bordo ( ameno che non sia scritto, esplicitamente, all'interno).
Sul bordo della circonferenza ?
Ovvero potrei vedere cosa accade nei punti $(0, pm 2)$ e $(pm 2, 0)$ ?
Ovvero potrei vedere cosa accade nei punti $(0, pm 2)$ e $(pm 2, 0)$ ?
tutta la circonferenza ,non solo i punti cardinali 
No, se dico bordo (e non bordo della circonferenza: la circonferenza è una curva chiusa, il suo bordo è un insieme vuoto) intendo sulla circonferenza (che è il bordo del cerchio).
All'interno del cerchio applichi gradiente/hessiano.
Sul bordo puoi usare i moltiplicatori di lagrange, la parametrizzazione o la restrizione.
Anche perché, visto che cìti si chiedono max e min assoluti, vuol dire che lo studio va fatto su un compatto (in modo che valga il Teorema di Weierstrass) e un compatto in $RR^2$ è un insieme chiuso e limitato (chiudi il disco con il bordo lo è, il disco senza bordo no).
E la circonferenza non è fatta solo di 4 punti...
All'interno del cerchio applichi gradiente/hessiano.
Sul bordo puoi usare i moltiplicatori di lagrange, la parametrizzazione o la restrizione.
Anche perché, visto che cìti si chiedono max e min assoluti, vuol dire che lo studio va fatto su un compatto (in modo che valga il Teorema di Weierstrass) e un compatto in $RR^2$ è un insieme chiuso e limitato (chiudi il disco con il bordo lo è, il disco senza bordo no).
E la circonferenza non è fatta solo di 4 punti...
In pratica volendo applicare il Teorema di Weierstrass devo essere in un compatto di $RR^2$.
Studio la funzione ai punti critici ed applico anche il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, cioè:
$L (x, y) = f(x, y) - lambda(g(x, y))$ $=$ $(3 − x^2 − y^ 2) - lambda(x^2 + y^2 - 4)$
Studio la funzione ai punti critici ed applico anche il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, cioè:
$L (x, y) = f(x, y) - lambda(g(x, y))$ $=$ $(3 − x^2 − y^ 2) - lambda(x^2 + y^2 - 4)$
Sì... ma io sinceramente avrei parametrizzato la curva, visto che deve essere $x^2+y^2=4$ sulla circonferenza, e quindi la funzione risulta $f(x,y)=(3-4)e^{4-x^2}=-e^{4-x^2}<0$ sulla circonferenza.
E si vede subito che il valore (in valore assoluto) più grande è quando $x=0$ e si ha $f(0,\pm 2)=-e^4$ che risultano minimi, mentre i massimi si hanno quando $4-x^2=0$, cioè per $x=\pm 2$ e si ha $f(\pm 2,0)=-1$, che sono i massimi. Poi, valutando cosa accade con i punti interni, si capisce quali sono i max e min assoluti.
E si vede subito che il valore (in valore assoluto) più grande è quando $x=0$ e si ha $f(0,\pm 2)=-e^4$ che risultano minimi, mentre i massimi si hanno quando $4-x^2=0$, cioè per $x=\pm 2$ e si ha $f(\pm 2,0)=-1$, che sono i massimi. Poi, valutando cosa accade con i punti interni, si capisce quali sono i max e min assoluti.
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