Massimi e minimi Assoluti
Ciao a tutti ho questa funzione:
$ f(x,y)= 4/3x^3+y^2-4x $
vincolata: $ 0<=x<=2$ $-1<=y<=1 $
Qulcuno mi potrebbe dire quali sono i massimi e i minimi assoluti a me esce:
$ MAX: (0,1)(0,-1) $ con valore $1$
$ MIN: (2,0) $ con valore $8/3$
Grazie!!!
$ f(x,y)= 4/3x^3+y^2-4x $
vincolata: $ 0<=x<=2$ $-1<=y<=1 $
Qulcuno mi potrebbe dire quali sono i massimi e i minimi assoluti a me esce:
$ MAX: (0,1)(0,-1) $ con valore $1$
$ MIN: (2,0) $ con valore $8/3$
Grazie!!!
Risposte
"Antoko":
Qulcuno mi potrebbe dire quali sono i massimi e i minimi assoluti a me esce:
$ MAX: (0,1)(0,-1) $ con valore $1$
$ MIN: (2,0) $ con valore $8/3$
Non ho fatto nessun conto, ma mi sembra improbabile che il valore max (assoluto) sia più piccolo del valore minimo
Gentilmente m potresti spiegare come fare xche secondo me sbaglio...
i passaggi per fare il massimo e il minino
grazie 1000
i passaggi per fare il massimo e il minino
grazie 1000
Io farei così:
- cerco i punti interni al rettangolo in cui si annulla il gradiente
- studio la funbzione sui lati e vedo dove si annulla la derivata (della funzione di una variabile che mi ritrovo)
- prendo i 4 vertici
Tra tutti i punti trovati, selezioni quello più grande (in cui la funzione assume valore massimo) e quello più piccolo (in cui...).
Che max e min assoluti ci siano te lo garantisce Weierstrass e che li puoi cercare solo tra i punti sopra indicati deriva dalle condizioni necessarie solite.
- cerco i punti interni al rettangolo in cui si annulla il gradiente
- studio la funbzione sui lati e vedo dove si annulla la derivata (della funzione di una variabile che mi ritrovo)
- prendo i 4 vertici
Tra tutti i punti trovati, selezioni quello più grande (in cui la funzione assume valore massimo) e quello più piccolo (in cui...).
Che max e min assoluti ci siano te lo garantisce Weierstrass e che li puoi cercare solo tra i punti sopra indicati deriva dalle condizioni necessarie solite.
scusa se ti secco ma mi potresti fare tutti i passaggi x capire dove sbaglio
T ringrazio infinitamente...
T ringrazio infinitamente...
allora, prima cerchi i punti di estremo della funzione, guardando dove si annulla il gradiente. se trovi che questi punti sono INTERNI al vincolo, allora li tieni, e controlla che valore assume la funzione in tale punto. In questo caso hai:
$\{(12/3x^2 - 4 = 0),(2y = 0):}$
Quindi hai i punti: (1,0) e (-1,0). Vedi che sono il primo è contenuto all' interno del vincolo, quindi tieni quello. La funzione in quel punto assume il valore: $-8/3$
Poi devi controlare il bordo del quadrato (il tuo vincolo). Per ogni lato, tieni fissa una coordinata, e fai variare l' altra, te lo faccio per un lato.
$\{(x = t),(y = -1):}$ $t in [0,2]$ Sosituisci tutto in $f(x,y)$, che diventa: $f(t) = 4/3t^3 - 4t$, la sua derivata $f'(t) = 4t^2 - 4$ che si annulla in $t = +-1$
Il risultato accettabile è solo $t = +1$, quindi l' unico punto di estremo su quel lato è (1,-1).
Vai avanti così per tutti gli altri lati, controlli i valori che la funzione assume nei vari punti, e infine determini queli sono di minimi e quali di massimo controllando la loro matrice hessiana.
$\{(12/3x^2 - 4 = 0),(2y = 0):}$
Quindi hai i punti: (1,0) e (-1,0). Vedi che sono il primo è contenuto all' interno del vincolo, quindi tieni quello. La funzione in quel punto assume il valore: $-8/3$
Poi devi controlare il bordo del quadrato (il tuo vincolo). Per ogni lato, tieni fissa una coordinata, e fai variare l' altra, te lo faccio per un lato.
$\{(x = t),(y = -1):}$ $t in [0,2]$ Sosituisci tutto in $f(x,y)$, che diventa: $f(t) = 4/3t^3 - 4t$, la sua derivata $f'(t) = 4t^2 - 4$ che si annulla in $t = +-1$
Il risultato accettabile è solo $t = +1$, quindi l' unico punto di estremo su quel lato è (1,-1).
Vai avanti così per tutti gli altri lati, controlli i valori che la funzione assume nei vari punti, e infine determini queli sono di minimi e quali di massimo controllando la loro matrice hessiana.
Faccio le matrice parziali:
$ { ( fx=4x^2-4=0 ),( fy=2y=0 ):} ; { ( x^2=pm 1 ),( y=0 ):} $
$P=(1,0)$
$Q=(-1,0)$
Faccio le derivate seconde:
$ fx,x=8x$ ;$ fx,y=0$
$fy,x=0$ ; $fy,y=2 $
Matrice Hessiana:
det H $ | ( 8x , 0 ),( 0 , 2 ) | $
per $f(1,0)=16$ ;
$f(-1,0)=-16$;
$fx,x=(1,0)=8$ punto di $min Relativo$
per ogni lato faccio:
Su $x=0$ $y in (1,0) $
$yin(0,-1)$
$g(0,y)=g(y)=y^2$
$g'(y)=2y$ $y=0$
$g(1)=f(0,1)=1$
$g(-1)=f(0,1)=1$
Su $x=2$ $yin(2,1)$
$yin(2,-1)$
$g(0,y)=g(y)=8/3+y^2$
$g'(y)=2y$ $y=0$
$g(1)=f(2,1)=11/3$
$g(-1)=f(2,-1)=11/3$
Su $y=1$ $x in(0,1)$
$x in(2,-1)$
$g(x,0)=g(x)=4/3x^3+1-4x$
$g'(x)=4x^2-4$ $x=pm1$
$g(1)=f(1,1)=-5/3$
$g(2)=f(2,1)=11/3$
Su $y=-1$ $x in(0,-1)$
$x in(2,-1)$
$g(x,0)=g(x)=4/3x^3+1-4x$
$g'(x)=4x^2-4$ $x=pm1$
$g(1)=f(1,-1)=-5/3$
$g(2)=f(2,-1)=-5/3$
Qundi i massimi sono quelle cordinate di volore $1$
mentre i minimi sono quelli di valore $11/3$
ditemi se va bene cosi vi ringrazio infinitamente!!!
$ { ( fx=4x^2-4=0 ),( fy=2y=0 ):} ; { ( x^2=pm 1 ),( y=0 ):} $
$P=(1,0)$
$Q=(-1,0)$
Faccio le derivate seconde:
$ fx,x=8x$ ;$ fx,y=0$
$fy,x=0$ ; $fy,y=2 $
Matrice Hessiana:
det H $ | ( 8x , 0 ),( 0 , 2 ) | $
per $f(1,0)=16$ ;
$f(-1,0)=-16$;
$fx,x=(1,0)=8$ punto di $min Relativo$
per ogni lato faccio:
Su $x=0$ $y in (1,0) $
$yin(0,-1)$
$g(0,y)=g(y)=y^2$
$g'(y)=2y$ $y=0$
$g(1)=f(0,1)=1$
$g(-1)=f(0,1)=1$
Su $x=2$ $yin(2,1)$
$yin(2,-1)$
$g(0,y)=g(y)=8/3+y^2$
$g'(y)=2y$ $y=0$
$g(1)=f(2,1)=11/3$
$g(-1)=f(2,-1)=11/3$
Su $y=1$ $x in(0,1)$
$x in(2,-1)$
$g(x,0)=g(x)=4/3x^3+1-4x$
$g'(x)=4x^2-4$ $x=pm1$
$g(1)=f(1,1)=-5/3$
$g(2)=f(2,1)=11/3$
Su $y=-1$ $x in(0,-1)$
$x in(2,-1)$
$g(x,0)=g(x)=4/3x^3+1-4x$
$g'(x)=4x^2-4$ $x=pm1$
$g(1)=f(1,-1)=-5/3$
$g(2)=f(2,-1)=-5/3$
Qundi i massimi sono quelle cordinate di volore $1$
mentre i minimi sono quelli di valore $11/3$
ditemi se va bene cosi vi ringrazio infinitamente!!!
"Antoko":ehm... sembra il gioco dell'oca: siamo tornati al punto di partenza. Abbiamo minimi più grandi dei massimi.
Qundi i massimi sono quelle cordinate di volore $1$
mentre i minimi sono quelli di valore $11/3$
Una nota aggiuntiva: se sei interessato solo a max/min assoluti, vedere se i punti critici trovati annullando il gradiente sono p.ti di max o min relativo è tempo perso.
Ma non capisco cosa sbaglio...xche io controllo i lati che forma il vincolo e mi trovo i valori in base ai punti dei vertici.
Cioè tutt il prcedimento è sbagliato?
Cioè tutt il prcedimento è sbagliato?
credo che mi sfugga il metodo con cui fai i calcoli. Guarda che i valori dei punti critici ottenuti li devi sostituire nel funzioe iniziale, non nella dereivata, è esattamente come quando si cercano i massimi in una variabile..
E poi che ragionamento hai fatto per ottenere, riguardo al primo lato:
$g(1)=f(0,1)=1$
$g(-1)=f(0,1)=1 $
Cioè. tu dalla riga prima di quelle, trovi che $y = 0$, e questo ti va bene, perchè in quel lato hai $-1 < y < 1$, quindi ricordando che hai considerato $x = 0$, il tuo punto sarà (0,0)
e avanti così..
Comunque, come ha detto Fioravante, come puoi pensare che i tuoi risultati siano giusti, quando hai massimi che sono più piccoli dei minimi ??
E poi che ragionamento hai fatto per ottenere, riguardo al primo lato:
$g(1)=f(0,1)=1$
$g(-1)=f(0,1)=1 $
Cioè. tu dalla riga prima di quelle, trovi che $y = 0$, e questo ti va bene, perchè in quel lato hai $-1 < y < 1$, quindi ricordando che hai considerato $x = 0$, il tuo punto sarà (0,0)
e avanti così..
Comunque, come ha detto Fioravante, come puoi pensare che i tuoi risultati siano giusti, quando hai massimi che sono più piccoli dei minimi ??
Capito Impazziròòòò....
No, se ti affidi alle amorevoli cure degli utenti di questo forum 
Ti suggerisco di dormirci sopra, di rileggere con calma domani tutto il thread e rifletterci. Poi vedrai che, se ti resta qualcosa di non chiaro, ci sarà sempre qualcuno pronto a rispondere ai tuoi dubbi.
Ciao
Ti suggerisco di dormirci sopra, di rileggere con calma domani tutto il thread e rifletterci. Poi vedrai che, se ti resta qualcosa di non chiaro, ci sarà sempre qualcuno pronto a rispondere ai tuoi dubbi.
Ciao
Allora, prima rileggi quello che ti ho scritto.. 
e poi dimmi cosa non hai capito..
e poi dimmi cosa non hai capito..
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