Massimi e minimi assoluti, 2 variabili
Vorrei proporre un esercizio che ho difficoltà a risolvere
$ f(x,y)=e^(√(x^2+y^2+4)) | 4≤(x^2+y^2)≤16 $
Ringrazio anticipatamente
$ f(x,y)=e^(√(x^2+y^2+4)) | 4≤(x^2+y^2)≤16 $
Ringrazio anticipatamente
Risposte
Nessuna idea? Proprio nessuna?
Il dominio risulta compreso in una doppia circonferenza.
Ho iniziato facendo le derivate prime parziali e le ho uguagliate a zero.
$ \frac{e^{\sqrt{x^2+y^2+4}}x}{\sqrt{x^2+y^2+4}}=0 ;
\frac{e^{\sqrt{x^2+y^2+4}}y}{\sqrt{x^2+y^2+4}}=0 $
Ottengo che si annullano rispettivamente per x=0 e y=0, poi non riesco a continuare
(grazie della risposta tempestiva)
Ho iniziato facendo le derivate prime parziali e le ho uguagliate a zero.
$ \frac{e^{\sqrt{x^2+y^2+4}}x}{\sqrt{x^2+y^2+4}}=0 ;
\frac{e^{\sqrt{x^2+y^2+4}}y}{\sqrt{x^2+y^2+4}}=0 $
Ottengo che si annullano rispettivamente per x=0 e y=0, poi non riesco a continuare
(grazie della risposta tempestiva)
Ok, è già un punto di partenza.
Cosa mi sai dire sull'insieme $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 4\le x^2+y^2\le 16\}$? È un insieme chiuso? È un insieme limitato? Inoltre la funzione $f(x,y)$ è continua in $D$? In altre parole, sono rispettate le ipotesi del teorema di Weierstrass?
Se la risposta alla seconda, terza, quarta e quinta domanda sono sì, sì, sì e sì (e lo sono), cosa possiamo concludere in merito ai punti di massimo e di minimo assoluti, se l'unico punto stazionario di $f(x,y)$ non appartiene alla parte interna di $D$?
Cosa mi sai dire sull'insieme $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 4\le x^2+y^2\le 16\}$? È un insieme chiuso? È un insieme limitato? Inoltre la funzione $f(x,y)$ è continua in $D$? In altre parole, sono rispettate le ipotesi del teorema di Weierstrass?
Se la risposta alla seconda, terza, quarta e quinta domanda sono sì, sì, sì e sì (e lo sono), cosa possiamo concludere in merito ai punti di massimo e di minimo assoluti, se l'unico punto stazionario di $f(x,y)$ non appartiene alla parte interna di $D$?
Esatto è chiuso e limitato ed f continua quindi vale il teorema di Weierstrass ma il punto non appartiene al dominio, che si fa in questi casi?
Non serve parametrizzare, almeno non in questa circostanza. 
Nella parte interna di $D$ non possono esserci né punti di massimo né punti di minimo, di conseguenza devono necessariamente stare sul bordo di $D$, ossia sulle circonferenze di equazioni $C_1: x^2+y^2=4$ e $C_2: x^2+y^2=16$.
Su $C_1$, come diventa $f(x,y)$? E su $C_2$?
Nella parte interna di $D$ non possono esserci né punti di massimo né punti di minimo, di conseguenza devono necessariamente stare sul bordo di $D$, ossia sulle circonferenze di equazioni $C_1: x^2+y^2=4$ e $C_2: x^2+y^2=16$.
Su $C_1$, come diventa $f(x,y)$? E su $C_2$?
E' proprio qui che ho dubbi, scrivo semplicemente le equazioni delle due circonferenze isolando x e y e mi trovo gli 8 punti?
Provo a essere più esplicito. Se $(x_0,y_0)$ è un punto della circonferenza $C_1$, allora: $x_0^2+y_0^2=4$, di conseguenza $f(x,y)$ valutata in $(x_0,y_0)$ risulta:
$f(x_0,y_0)=e^{\sqrt{x_0^2+y_0^2+4}}=e^{\sqrt{4+4}}=e^{2\sqrt{2}}=m$
Ciò significa che $f(x,y)$ è costante su $C_1$.
Allo stesso modo, se $(x_1,y_1)$ è un punto della circonferenza $C_2$, allora:
$x_1^2+y_1^2=16$
pertanto $f(x,y)$ valutata su tali punti diventa:
$f(x_1,y_1)=e^{\sqrt{x_1^2+y_1^2+4}}=e^{\sqrt{16+4}}=e^{2\sqrt{5}}=M$
per cui $f(x,y)$ è costante anche su $C_2$. Poiché $mtutti i punti che appartengono a $C_1$ sono punti di minimo assoluto per $f(x,y)$, mentre tutti i punti che appartengono a $C_2$ sono punti di massimo assoluto per $f(x,y)$.
$f(x_0,y_0)=e^{\sqrt{x_0^2+y_0^2+4}}=e^{\sqrt{4+4}}=e^{2\sqrt{2}}=m$
Ciò significa che $f(x,y)$ è costante su $C_1$.
Allo stesso modo, se $(x_1,y_1)$ è un punto della circonferenza $C_2$, allora:
$x_1^2+y_1^2=16$
pertanto $f(x,y)$ valutata su tali punti diventa:
$f(x_1,y_1)=e^{\sqrt{x_1^2+y_1^2+4}}=e^{\sqrt{16+4}}=e^{2\sqrt{5}}=M$
per cui $f(x,y)$ è costante anche su $C_2$. Poiché $m
Grazie mille, ora è chiaro!
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