Massimi e minimi assoluti
Propongo un esercizio di massimi e minimi assoluti con frontiera.
Trovare max e min assoluti della funzione $f=x+y+z$ sulla frontiera $F=(x^2)/6+(y^2)/9+(z^2)<=1$; ha il minore uguale (scusate ma non so come mettere apici, frazioni e minore/maggiore uguale).
Ora, a me i punti che sono venuti sono: $(-3/2;-9/4;-1/4)$ e $(3/2;9/4;1/4)$. Per verificare se soddisfano la frontiera (che è un ellissoide e so che il dominio dovrebbe essere tutto R3) qual è il modo più corretto di procedere in questo caso?
Trovare max e min assoluti della funzione $f=x+y+z$ sulla frontiera $F=(x^2)/6+(y^2)/9+(z^2)<=1$; ha il minore uguale (scusate ma non so come mettere apici, frazioni e minore/maggiore uguale).
Ora, a me i punti che sono venuti sono: $(-3/2;-9/4;-1/4)$ e $(3/2;9/4;1/4)$. Per verificare se soddisfano la frontiera (che è un ellissoide e so che il dominio dovrebbe essere tutto R3) qual è il modo più corretto di procedere in questo caso?
Risposte
Ciao umbe.
Io invece ti propongo di dare un’occhiata quì: formule.
Quando cerchi aiuto in un esercizio sarebbe utile, per chi legge, che tu metta quantomeno un’idea di soluzione dell’esercizio per poter vedere in caso di errori dove si vanno a insidiare.
Inoltre potrebbe essere scritto, complessivamente, meglio.
Passando al tuo esercizio.
Hai il vincolo? Hai il punto? Cosa devi fare per vedere se il punto appartiene al vincolo?
Io invece ti propongo di dare un’occhiata quì: formule.
Quando cerchi aiuto in un esercizio sarebbe utile, per chi legge, che tu metta quantomeno un’idea di soluzione dell’esercizio per poter vedere in caso di errori dove si vanno a insidiare.
Inoltre potrebbe essere scritto, complessivamente, meglio.
Passando al tuo esercizio.
Hai il vincolo? Hai il punto? Cosa devi fare per vedere se il punto appartiene al vincolo?
Grazie per la risposta e per il link. Riguardo all'esercizio, purtroppo, le soluzioni non ci sono: per questo domando conferme, dubbi su questo forum. Quelle che credo essere le soluzioni giuste le ho scritte: sono i punti $(-3/2;-9/4;-1/4)$ e $(3/2;9/4;1/4)$. Il vincolo è la frontiera F che ho scritto sopra. Ora l'unico dubbio che qui mi viene è che la frontiera presenta un minore/uguale a uno. E quella frontiera non può essere rappresentata in uno spazio, in quanto vive in R4. Posso disegnare in R3 il suo dominio, giusto?
P.S.: comunque la tua foto è troppo bella, mi piace il tuo cagnolino.
P.S.: comunque la tua foto è troppo bella, mi piace il tuo cagnolino.
Figurati.
Diciamo che il decoro nell'esposizione di un problema può invogliare a rispondere, piuttosto che dover tradurre prima di doverlo affrontare
per prima cosa per poter parlare di massimi e minimi assoluti dobbiamo studiare l'insieme che, converrai con me, si tratta di un compatto. La funzione in questione è anche una funzione continua pertanto sicuramente esistono massimi e minimi assoluti, perfetto.
ora essendo $D=i n t(D)cup partialD$, ovvero l'unione disgiunta del bordo di $D$ e dell'interno, possiamo studiare separatamente le cose.
Sappiamo che una condizione necessaria affinché si abbiano punti di massimo e di minimo è che siano critici, ovvero che il gradiente debba annullarsi in qualche punto nell'interno del dominio.
Si vede subito che il gradiente risulta essere costantemente $nablaf(x,y,z)=(1,1,1)$ per ogni terna $(x,y,z)$ presa nell'interno di $D$. Quindi essendo sempre non nullo non possono esistere punti interni di massimo e minimo assoluti
E' chiaro quindi che i massimi e minimi assoluti devono stare sul bordo
I modi di procedere sono essenzialmente due: moltiplicatori di Lagrange, parametrizzazione del vincolo.
E' chiaro che il modo forse più veloce è quello dei moltiplicatori di Lagrange.
basta dunque impostare il sistema
è chiaro che dovendo essere $lambdane0$ sarà
da cui $3/(2lambda^2)+9/(4lambda^2)+1/(4lambda^2)=1$
pertanto $lambda^2=6/4+9/4+1/4=4 => lambda=pm2 => (x,y,z)=(pm3/2,pm9/4,pm1/4):=x_(pm)$
e' chiaro che essendo $f(x_(-))
il grafico di $f$ sta in $RR^4$ ma il dominio con la sua frontiera stanno in $RR^3$ quindi puoi disegnarli lì.
alternativamente puoi considerare gli insiemi
la cui unione $D_(+)cupD_(-)=partialD$
dunque puoi considerare, per esempio la funzione sui due pezzi del bordo.
[ot]quel cane non è mio, ma è una foto che ho da mooolti anni[/ot]
Diciamo che il decoro nell'esposizione di un problema può invogliare a rispondere, piuttosto che dover tradurre prima di doverlo affrontare
per prima cosa per poter parlare di massimi e minimi assoluti dobbiamo studiare l'insieme che, converrai con me, si tratta di un compatto. La funzione in questione è anche una funzione continua pertanto sicuramente esistono massimi e minimi assoluti, perfetto.
ora essendo $D=i n t(D)cup partialD$, ovvero l'unione disgiunta del bordo di $D$ e dell'interno, possiamo studiare separatamente le cose.
Sappiamo che una condizione necessaria affinché si abbiano punti di massimo e di minimo è che siano critici, ovvero che il gradiente debba annullarsi in qualche punto nell'interno del dominio.
Si vede subito che il gradiente risulta essere costantemente $nablaf(x,y,z)=(1,1,1)$ per ogni terna $(x,y,z)$ presa nell'interno di $D$. Quindi essendo sempre non nullo non possono esistere punti interni di massimo e minimo assoluti
E' chiaro quindi che i massimi e minimi assoluti devono stare sul bordo
$partialD={(x,y,z) in RR^3: x^2/6+y^2/9+z^2=1}$
I modi di procedere sono essenzialmente due: moltiplicatori di Lagrange, parametrizzazione del vincolo.
E' chiaro che il modo forse più veloce è quello dei moltiplicatori di Lagrange.
basta dunque impostare il sistema
${((1,1,1)=lambda(1/3x,2/9y,2z)),(x^2/6+y^2/9+z^2=1):}$
è chiaro che dovendo essere $lambdane0$ sarà
${(x=3/(lambda)),(y=9/(2lambda)),(z=1/(2lambda)):}$
da cui $3/(2lambda^2)+9/(4lambda^2)+1/(4lambda^2)=1$
pertanto $lambda^2=6/4+9/4+1/4=4 => lambda=pm2 => (x,y,z)=(pm3/2,pm9/4,pm1/4):=x_(pm)$
e' chiaro che essendo $f(x_(-))
il grafico di $f$ sta in $RR^4$ ma il dominio con la sua frontiera stanno in $RR^3$ quindi puoi disegnarli lì.
alternativamente puoi considerare gli insiemi
$D_(pm)={(x,y,pmsqrt(1-x^2/6-y^2/9) )in RR^2: (x,y) in RR^2}$
la cui unione $D_(+)cupD_(-)=partialD$
dunque puoi considerare, per esempio la funzione sui due pezzi del bordo.
[ot]quel cane non è mio, ma è una foto che ho da mooolti anni
[/ot]
Ok, quindi vedendo che il gradiente è quello, so che non devo considerare i punti critici che trovo dal sistema delle tre derivate parziali, ma solamente quelli che ottengo poi coi moltiplicatori. Ma se il gradiente è $(1,1,1)$ non è nullo.
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