Massimi e minimi assoluti

[stefy_paol]

di nuovo ciao a tutti ,

questo esercizio (sulla teoria semplice) mi ha fatto venire diversi dubbi: Determinare massimi e minimi assoluti della funzione
$f(x,y)=|x+y|-|x^2-y^2|$
nel quadrato definito di vertici $[-1,1]x[1,1]x[-1,-1]x[1,-1]$ .
io per iniziare ho riscritto la mia f(x,y) senza i valori assoluti in questo modo

$ { ( -x^2+y^2+x+y ),( -x^2+y^2-x-y ),( x^2-y^2-x-y ):} $
la prima per $x>=y$ la seconda per $x<=-y$ la terza per $ -y
poi mi son andato a studiare le derivate prime di queste tre funzioni dentro il quadrato, e infine ho calcolato le derivate prime dell'opportuna f(x,y) sui lati del quadrato. Può essere giusto questo procedimento?

[Frink1]

Io direi che qui, negli aperti (quindi senza le frontiere) dei sottoinsiemi del quadrato di partenza puoi usare l'ottimizzazione senza vincoli, quindi calcoli i gradienti sui rispettivi aperti. Sulle frontiere però ti occorre la Lagrangiana, perché si tratta di ottimizzazione vincolata.

[gio73]

Non sono d'accordo su come hai gestito il modulo, magari sbaglio io,
ma vedo 4 regioni, delimitate dalle bisettrici dei quadranti
nella regione che contiene il semiasse positivo delle ascisse abbiamo $f(x;y)=y^2-x^2+x-y$
nella regione che contiene il semiasse positivo delle ordinate abbiamo $f(x;y)=x^2-y^2+x+y$
nella regione che contiene il semiasse negativo delle ascisse abbiamo $f(x;y)=y^2-x^2-x-y$
nella regione che contiene il semiasse negativo delle ordinate abbiamo $f(x;y)=x^2-y^2-x-y$

Inoltre direi che possiamo accorgerci abbastanza velocemente che la funzione assume il valore minimo quando in entrambi i moduli abbiamo il valore zero, cioè lungo la bisettrice di II e IV quadrante

[Epimenide93]

"Frink":Sulle frontiere però ti occorre la Lagrangiana, perché si tratta di ottimizzazione vincolata.

Non necessariamente, trattandosi di segmenti si può studiare molto facilmente cosa succede sul bordo in maniera diretta.