Massimi e minimi assoluti
Salve a tutti,
sto studiando massimi e minimi e non riesco a capire concettualmente i massimi e minimi assoluti:
i max e min relativi si calcolano con la matrice hessiana e derivate parziali o attraverso autovalori ecc...
i max e min relativi vincolati in più c'è un vincolo appunto e si usano i moltiplicatori di lagrange o per sostituzione con la variabile y....
ma i max e min assoluti cosa sono graficamente?? come si calcolano?? nel libro che usa fa uso di derivate parziali ma non capisco bene i procedimenti e che differenza ci siano con gli altri...
grazie in anticipo
sto studiando massimi e minimi e non riesco a capire concettualmente i massimi e minimi assoluti:
i max e min relativi si calcolano con la matrice hessiana e derivate parziali o attraverso autovalori ecc...
i max e min relativi vincolati in più c'è un vincolo appunto e si usano i moltiplicatori di lagrange o per sostituzione con la variabile y....
ma i max e min assoluti cosa sono graficamente?? come si calcolano?? nel libro che usa fa uso di derivate parziali ma non capisco bene i procedimenti e che differenza ci siano con gli altri...
grazie in anticipo
Risposte
Considereriamo il probblema della ricerca di eventuali punti di massimo e minimo, relativi e assoluti, per funzioni di $n$ variabili, con $n\ge2.$ Inizialmente si può procedere prenderemo in esame il problema della ricerca dei massimi e minimi interni al dominio $\Omega$ della funzione: si parlerà in questo caso di estremi liberi . La ricerca di estremi di $f$ ristretta alla frontiera $\partial \Omega$ di $\Omega,$ od a un suo sottoinsieme (non aperto) $C,$ rientra nei problemi di massimo e minimo vincolati . Nei casi più frequenti $f$ è ristretta ad un sottoisieme $C$ di $\Omega$ che può essere decritto da un sistema di equazioni del tipo:
\begin{align*}
C:=\left\{(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n: g_k (x_1,x_2,...,x_n)=0,\quad k=1,2,...m,\quad m
parleremo allora di ricerca di massimi e minimi vincolata con vincoli di uguaglianza; se invece $f$ è ristretta ad un sottoisieme $C$ di $\Omega$ che può essere decritto da un sistema di equazioni del tipo:
\begin{align*}
C:=\left\{(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n: g_j (x_1,x_2,...,x_n)\le0,\quad j=1,2,...m, \right\},
\end{align*}
parleremo allora di ricerca di massimi e minimi vincolata con vincoli di disuguaglianza.
Consideriamo una funzione $f:\Omega\subseteq\RR^n\to\RR,$ ossia esplicitamente:
\[f(x_1,x_2,...,x_n)=f(P);\]
sia $$ P^0=(x^0_1,x^0_2,...,x^0_n)\in \Omega,$$ e
\[ B( P^0,r):=\{P\in \Omega : \,\,\, \|P-P^0 \|
Un punto $P^0\in \Omega,$ si dice di minimo relativo o locale per $f$ se esiste un intorno $B(P^0, r),$ tale che
\begin{align}
f\left(P\right)\ge f\left(P^0\right),\qquad \forall\,\,\,P\in B(P^0, r)\cap \Omega.\tag 1
\end{align}
Il punto $P^0\in \Omega,$ si dice di minimo assoluto o globale per $f$ se vale la $(1)$ per ogni $ P\in \Omega.$
Un punto $P^0\in \Omega,$ si dice di massimo relativo o locale per $f$ se esiste un intorno $B(P^0, r),$ tale che
\begin{align}
f\left(P\right)\le f\left(P^0\right),\qquad \forall\,\,\,P\in B(P^0, r)\cap \Omega.\tag 2
\end{align}
Il punto $P^0 \in \Omega,$ si dice di massimo assoluto o globale per $f$ se vale la $(2)$ per ogni $P\in \Omega.$
Ad esempio, determiniamo, se esiste,
$$\max_{C}f,\qquad\min_{C} f,$$
dove
$$C:=\left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2=z^2 ,\,\,y^2+(z-2)^2=1\right\},$$
e
$$f(x,y,z) = e^x .$$
Si tratta di un problema di minimo vincolato; osserviamo che la funzione $f$ è di classe $C^{\infty} (\RR^3)$ mentre l'insieme $C$ è compatto, cioè chiuso e limitato, in quanto $C$ è l'intersezione di due insiemi di livello $g_1=0$ e $g_2-1=0$ e quindi è chiuiso, inoltre è limitato, in quanto da
\[ y^2+(z-2)^2=1,\]
che rappresenta una circonferenza di centro $(0,2)$ e raggio $1$ nel piano $yz,$ si ricava
\[ |y|\le 1,\qquad 1\le z\le3,\]
e quindi da
\begin{align*}
x^2+y^2=z^2 &\quad \Rightarrow \quad x^2 =z^2-y^2\le9-0\quad \Leftrightarrow \quad x^2 \le9 \quad \Leftrightarrow \quad |x|\le3,
\end{align*}
si ottine la limitatezza di $C;$ per il teorema di Weierstrass esistono massimo e minimo di $f$ su $C.$ Per la ricerca ti tali punti possiamo applicare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: detti
\[ g_1(x,y,z):=x^2+y^2-z^2 ,\quad g_2(x,y,z):=y^2+(z-2)^2-1,\]
verifichiamo se sussistono le ipotesi del teorema: evidentemente $g_1,g_2\in C^{\infty} (\RR^3 ),$ inoltre considerando la funzione
\[F(x,y,z):\mathbb{R}^3\to\mathbb{R^2}\]
definita da
\[F(x,y,z):=\left(x^2+y^2-z^2\,\,;\,\,y^2+(z-2)^2-1\right),\]
e calcolandone la matrice jacobiana
\begin{align*}
J(x,y,z)=\left(\begin{matrix}\nabla g_1\\\nabla g_2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 2x&2y&-2z\\0&2y&2(z-2)\end{matrix}\right),
\end{align*}
bisogna far vedere che $J$ ha rango massimo, cioè pari a $2,$ per ogni $(x,y,z)\in C,$ ovvero che il sistema seguente dei minori di $J$ non ha soluzioni:
\begin{align*}
\Sigma_J:\begin{cases}
xy=0\\
x(z-2)=0\\
2y(z-1)=0\\
x^2+y^2-z^2=0\\
y^2+(z-2)^2-1=0
\end{cases};
\end{align*}
tale sistema equivale ai due seguenti sistemi:
\begin{align*}
\Sigma_{J_{1}}:\begin{cases}
x =0\\
0=0\\
2y(z-1)=0\\
y^2-z^2=0\\
y^2+(z-2)^2-1=0
\end{cases};\qquad
\Sigma_{J_{2}}:\begin{cases}
y=0\\
x(z-2)=0\\
0=0\\
x^2 -z^2=0\\
(z-2)^2-1=0
\end{cases};
\end{align*}
consideriamo il sistema $\Sigma_{J_{1}}:$ è equivalente ai due sistemi seguenti:
\begin{align*}
\Sigma_{J_{1,1}}:\begin{cases}
x =0\\
0=0\\
y=0\\
z =0\\
3=0
\end{cases}=\emptyset;\qquad
\Sigma_{J_{1,2}}: \begin{cases}
x =0\\
0=0\\
z=1 \\
y =\pm1\\
y =0
\end{cases}=\emptyset,
\end{align*}
che evidentemente non hanno soluzioni; consideriamo il sistema $\Sigma_{J_{2}}:$ equivale ai due sistemi seguenti:
\begin{align*}
\Sigma_{J_{2,1}}:\begin{cases}
y=0\\
x =0\\
0=0\\
z =0\\
3=0
\end{cases}=\emptyset;\qquad \Sigma_{J_{2,2}}:\begin{cases}
y=0\\
z =2\\
0=0\\
x^2 -4=0\\
2-1=0
\end{cases}=\emptyset,
\end{align*}
che evidentemente non hanno soluzioni: il sistema $\Sigma_J$ non ha soluzioni, quindi la matrice jacobiana ha rango $2$ pertanto sussistono le ipotesi per applicare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Dovrà essere:
\begin{align*}
\nabla f-\lambda \nabla g_1-\mu\nabla g_2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad(e^x,0,0)-\lambda (2x,2y,-2z)- \mu (0,2y,2(z-2))=0,
\end{align*}
che equivale al sistema
\begin{align*}
\Sigma :\begin{cases}
e^x-2\lambda x=0\\
-2\lambda y -2\mu y=0\\
2\lambda z-2\mu(z-2)=0\\
x^2+y^2-z^2=0\\
y^2+(z-2)^2-1=0
\end{cases} =\begin{cases}
e^x-2\lambda x=0\\
y(\lambda +\mu)=0\\
z(\lambda -\mu)+2\mu=0\\
x^2+y^2-z^2=0\\
y^2+(z-2)^2-1=0
\end{cases};
\end{align*}
il sistema è equivalente ai due sistemi seguenti:
\begin{align*}
\Sigma_1 : \begin{cases}
e^x-2\lambda x=0\\
y =0\\
z(\lambda -\mu)+2\mu=0\\
x^2 -z^2=0\\
(z-2)^2-1=0
\end{cases};\qquad
\Sigma_2 : \begin{cases}
e^x-2\lambda x=0\\
\lambda +\mu =0\\
-2z\mu +2\mu=0\\
x^2+y^2-z^2=0\\
y^2+(z-2)^2-1=0
\end{cases}=\begin{cases}
e^x-2\lambda x=0\\
\lambda +\mu =0\\
\mu( z -1) =0\\
x^2+y^2-z^2=0\\
y^2+(z-2)^2-1=0
\end{cases};
\end{align*}
consideriamo il sistema $\Sigma_1:$ dalle ultime due equazioni si ricava:
\begin{align*}
\begin{cases}
y=0\\
x^2 -z^2=0\\
z^2-4z+3=0
\end{cases}&=\begin{cases}
y=0\\
x^2 -z^2=0\\
z =1
\end{cases} \cup\begin{cases}
y=0\\
x^2 -z^2=0\\
z =3
\end{cases} =\begin{cases}
x =\pm1\\
y=0\\
z =1
\end{cases} \cup\begin{cases}
x =\pm3\\
y=0\\
z =3
\end{cases},
\end{align*}
pertanto il sistema $\Sigma_1$ restituisce i punti:
\begin{align*}
A(1,0,1),\,\,\,B(-1,0,1),\,\,\,C(3,0,3),\,\,\,D(-3,0,3);
\end{align*}
consideriamo il sistema $\Sigma_2:$ equivale ai due sistemi:
\begin{align*}
\Sigma_{2,1} : \begin{cases}
e^x =0\\
\lambda =0\\
\mu =0\\
x^2+y^2-z^2=0\\
y^2+(z-2)^2-1=0
\end{cases};\qquad
\Sigma_{2,2} : \begin{cases}
e^x-2\lambda x=0\\
\lambda +\mu =0\\
z =1\\
x^2 -1=0\\
y =0
\end{cases};
\end{align*}
il sistema $\Sigma_{2,1}$ risulta evidentemente impossibile in virtù della prima equazione, mentre per il sistema $\Sigma_{2,2}$ dalla quarta equazione si ottengono i punti $A(-1,0,1),B(1,0,1)$ precedentemente trovati. Calcolando il valore della funzione nei punti trovati si ha:
\begin{align*}
f(A)=\frac{1}{e},\quad,f(B)=e,\quad f(C)=e^3,\quad f(D)=\frac{1}{e^3},
\end{align*}
si conclude:
\begin{align*}
\min_{C} f= \frac{1}{e^3},\qquad \max_{C} f =e^3.
\end{align*}
\begin{align*}
C:=\left\{(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n: g_k (x_1,x_2,...,x_n)=0,\quad k=1,2,...m,\quad m
parleremo allora di ricerca di massimi e minimi vincolata con vincoli di uguaglianza; se invece $f$ è ristretta ad un sottoisieme $C$ di $\Omega$ che può essere decritto da un sistema di equazioni del tipo:
\begin{align*}
C:=\left\{(x_1,x_2,...,x_n)\in\mathbb{R}^n: g_j (x_1,x_2,...,x_n)\le0,\quad j=1,2,...m, \right\},
\end{align*}
parleremo allora di ricerca di massimi e minimi vincolata con vincoli di disuguaglianza.
Consideriamo una funzione $f:\Omega\subseteq\RR^n\to\RR,$ ossia esplicitamente:
\[f(x_1,x_2,...,x_n)=f(P);\]
sia $$ P^0=(x^0_1,x^0_2,...,x^0_n)\in \Omega,$$ e
\[ B( P^0,r):=\{P\in \Omega : \,\,\, \|P-P^0 \|
Un punto $P^0\in \Omega,$ si dice di minimo relativo o locale per $f$ se esiste un intorno $B(P^0, r),$ tale che
\begin{align}
f\left(P\right)\ge f\left(P^0\right),\qquad \forall\,\,\,P\in B(P^0, r)\cap \Omega.\tag 1
\end{align}
Il punto $P^0\in \Omega,$ si dice di minimo assoluto o globale per $f$ se vale la $(1)$ per ogni $ P\in \Omega.$
Un punto $P^0\in \Omega,$ si dice di massimo relativo o locale per $f$ se esiste un intorno $B(P^0, r),$ tale che
\begin{align}
f\left(P\right)\le f\left(P^0\right),\qquad \forall\,\,\,P\in B(P^0, r)\cap \Omega.\tag 2
\end{align}
Il punto $P^0 \in \Omega,$ si dice di massimo assoluto o globale per $f$ se vale la $(2)$ per ogni $P\in \Omega.$
Ad esempio, determiniamo, se esiste,
$$\max_{C}f,\qquad\min_{C} f,$$
dove
$$C:=\left\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^2+y^2=z^2 ,\,\,y^2+(z-2)^2=1\right\},$$
e
$$f(x,y,z) = e^x .$$
Si tratta di un problema di minimo vincolato; osserviamo che la funzione $f$ è di classe $C^{\infty} (\RR^3)$ mentre l'insieme $C$ è compatto, cioè chiuso e limitato, in quanto $C$ è l'intersezione di due insiemi di livello $g_1=0$ e $g_2-1=0$ e quindi è chiuiso, inoltre è limitato, in quanto da
\[ y^2+(z-2)^2=1,\]
che rappresenta una circonferenza di centro $(0,2)$ e raggio $1$ nel piano $yz,$ si ricava
\[ |y|\le 1,\qquad 1\le z\le3,\]
e quindi da
\begin{align*}
x^2+y^2=z^2 &\quad \Rightarrow \quad x^2 =z^2-y^2\le9-0\quad \Leftrightarrow \quad x^2 \le9 \quad \Leftrightarrow \quad |x|\le3,
\end{align*}
si ottine la limitatezza di $C;$ per il teorema di Weierstrass esistono massimo e minimo di $f$ su $C.$ Per la ricerca ti tali punti possiamo applicare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange: detti
\[ g_1(x,y,z):=x^2+y^2-z^2 ,\quad g_2(x,y,z):=y^2+(z-2)^2-1,\]
verifichiamo se sussistono le ipotesi del teorema: evidentemente $g_1,g_2\in C^{\infty} (\RR^3 ),$ inoltre considerando la funzione
\[F(x,y,z):\mathbb{R}^3\to\mathbb{R^2}\]
definita da
\[F(x,y,z):=\left(x^2+y^2-z^2\,\,;\,\,y^2+(z-2)^2-1\right),\]
e calcolandone la matrice jacobiana
\begin{align*}
J(x,y,z)=\left(\begin{matrix}\nabla g_1\\\nabla g_2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 2x&2y&-2z\\0&2y&2(z-2)\end{matrix}\right),
\end{align*}
bisogna far vedere che $J$ ha rango massimo, cioè pari a $2,$ per ogni $(x,y,z)\in C,$ ovvero che il sistema seguente dei minori di $J$ non ha soluzioni:
\begin{align*}
\Sigma_J:\begin{cases}
xy=0\\
x(z-2)=0\\
2y(z-1)=0\\
x^2+y^2-z^2=0\\
y^2+(z-2)^2-1=0
\end{cases};
\end{align*}
tale sistema equivale ai due seguenti sistemi:
\begin{align*}
\Sigma_{J_{1}}:\begin{cases}
x =0\\
0=0\\
2y(z-1)=0\\
y^2-z^2=0\\
y^2+(z-2)^2-1=0
\end{cases};\qquad
\Sigma_{J_{2}}:\begin{cases}
y=0\\
x(z-2)=0\\
0=0\\
x^2 -z^2=0\\
(z-2)^2-1=0
\end{cases};
\end{align*}
consideriamo il sistema $\Sigma_{J_{1}}:$ è equivalente ai due sistemi seguenti:
\begin{align*}
\Sigma_{J_{1,1}}:\begin{cases}
x =0\\
0=0\\
y=0\\
z =0\\
3=0
\end{cases}=\emptyset;\qquad
\Sigma_{J_{1,2}}: \begin{cases}
x =0\\
0=0\\
z=1 \\
y =\pm1\\
y =0
\end{cases}=\emptyset,
\end{align*}
che evidentemente non hanno soluzioni; consideriamo il sistema $\Sigma_{J_{2}}:$ equivale ai due sistemi seguenti:
\begin{align*}
\Sigma_{J_{2,1}}:\begin{cases}
y=0\\
x =0\\
0=0\\
z =0\\
3=0
\end{cases}=\emptyset;\qquad \Sigma_{J_{2,2}}:\begin{cases}
y=0\\
z =2\\
0=0\\
x^2 -4=0\\
2-1=0
\end{cases}=\emptyset,
\end{align*}
che evidentemente non hanno soluzioni: il sistema $\Sigma_J$ non ha soluzioni, quindi la matrice jacobiana ha rango $2$ pertanto sussistono le ipotesi per applicare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Dovrà essere:
\begin{align*}
\nabla f-\lambda \nabla g_1-\mu\nabla g_2=0\qquad\Leftrightarrow\qquad(e^x,0,0)-\lambda (2x,2y,-2z)- \mu (0,2y,2(z-2))=0,
\end{align*}
che equivale al sistema
\begin{align*}
\Sigma :\begin{cases}
e^x-2\lambda x=0\\
-2\lambda y -2\mu y=0\\
2\lambda z-2\mu(z-2)=0\\
x^2+y^2-z^2=0\\
y^2+(z-2)^2-1=0
\end{cases} =\begin{cases}
e^x-2\lambda x=0\\
y(\lambda +\mu)=0\\
z(\lambda -\mu)+2\mu=0\\
x^2+y^2-z^2=0\\
y^2+(z-2)^2-1=0
\end{cases};
\end{align*}
il sistema è equivalente ai due sistemi seguenti:
\begin{align*}
\Sigma_1 : \begin{cases}
e^x-2\lambda x=0\\
y =0\\
z(\lambda -\mu)+2\mu=0\\
x^2 -z^2=0\\
(z-2)^2-1=0
\end{cases};\qquad
\Sigma_2 : \begin{cases}
e^x-2\lambda x=0\\
\lambda +\mu =0\\
-2z\mu +2\mu=0\\
x^2+y^2-z^2=0\\
y^2+(z-2)^2-1=0
\end{cases}=\begin{cases}
e^x-2\lambda x=0\\
\lambda +\mu =0\\
\mu( z -1) =0\\
x^2+y^2-z^2=0\\
y^2+(z-2)^2-1=0
\end{cases};
\end{align*}
consideriamo il sistema $\Sigma_1:$ dalle ultime due equazioni si ricava:
\begin{align*}
\begin{cases}
y=0\\
x^2 -z^2=0\\
z^2-4z+3=0
\end{cases}&=\begin{cases}
y=0\\
x^2 -z^2=0\\
z =1
\end{cases} \cup\begin{cases}
y=0\\
x^2 -z^2=0\\
z =3
\end{cases} =\begin{cases}
x =\pm1\\
y=0\\
z =1
\end{cases} \cup\begin{cases}
x =\pm3\\
y=0\\
z =3
\end{cases},
\end{align*}
pertanto il sistema $\Sigma_1$ restituisce i punti:
\begin{align*}
A(1,0,1),\,\,\,B(-1,0,1),\,\,\,C(3,0,3),\,\,\,D(-3,0,3);
\end{align*}
consideriamo il sistema $\Sigma_2:$ equivale ai due sistemi:
\begin{align*}
\Sigma_{2,1} : \begin{cases}
e^x =0\\
\lambda =0\\
\mu =0\\
x^2+y^2-z^2=0\\
y^2+(z-2)^2-1=0
\end{cases};\qquad
\Sigma_{2,2} : \begin{cases}
e^x-2\lambda x=0\\
\lambda +\mu =0\\
z =1\\
x^2 -1=0\\
y =0
\end{cases};
\end{align*}
il sistema $\Sigma_{2,1}$ risulta evidentemente impossibile in virtù della prima equazione, mentre per il sistema $\Sigma_{2,2}$ dalla quarta equazione si ottengono i punti $A(-1,0,1),B(1,0,1)$ precedentemente trovati. Calcolando il valore della funzione nei punti trovati si ha:
\begin{align*}
f(A)=\frac{1}{e},\quad,f(B)=e,\quad f(C)=e^3,\quad f(D)=\frac{1}{e^3},
\end{align*}
si conclude:
\begin{align*}
\min_{C} f= \frac{1}{e^3},\qquad \max_{C} f =e^3.
\end{align*}
ok... devo studiare un po l'esercizio ma ho capito il senso. grazie
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