Massimi e minimi assoluti
Mi serve un'aiuto per risolvere questo sistema.
$f(x,y)=2x^2+y^2-y$, $E={(x,y)\inRR^2|x^2+y^2/9<=1}$
trovare massimi e minimi assoluti
Io so usare solo il metodo di lagrange perchè quello parametrico mi incasino da matti. So che essendoci un'ellisse nell'insieme magari conviene usare quello, ma non lo so fare.
Quindi scrivo la lagrangiana: $L(x,y)=2x^2+y^2-y\lambda(x^2+y^2/9-1)$
quindi la derivo rispetto a $x,y,\lambda$
$\{((\partialL)/(\partialx):4x-2\lambdax=0),((\partialL)/(\partialy):2y-1-2/9\lambday=0),((\partialL)/(\partial\lambda): -x^2-y^2/9+1=0):}$
Quindi con l'annullamento del prodotto trovo
$\{(x=0 ^^ \lambda=2),(y=1/2 ^^ \lambda=9),(-x^2-y^2/9+1=0):}$
e quindi a ruota decido i valori di $x,y$ per trovare l'altro valore dalla terza equazione. Posso anche ignorare il $\lambda$ e trovare direttamente i due punti, giusto?
Solo che con $x=0$ trovo $y=+-3$ ma nella soluzione mi da solo il punto $P(0,-3)$, max assoluto. Ho controllato calcolando $\lambda$ caso mai venisse impossibile ma in entrambi i casi vengono due numeri normali. Sapete spiegarmi perchè il +3 viene buttato?
Non è che per caso è perchè $f(0,3)=9-3=6$ e $f(0,-3)=9+3=12$ e quindi il massimo è $P(0,-3)$ massimo assoluto?
$f(x,y)=2x^2+y^2-y$, $E={(x,y)\inRR^2|x^2+y^2/9<=1}$
trovare massimi e minimi assoluti
Io so usare solo il metodo di lagrange perchè quello parametrico mi incasino da matti. So che essendoci un'ellisse nell'insieme magari conviene usare quello, ma non lo so fare.
Quindi scrivo la lagrangiana: $L(x,y)=2x^2+y^2-y\lambda(x^2+y^2/9-1)$
quindi la derivo rispetto a $x,y,\lambda$
$\{((\partialL)/(\partialx):4x-2\lambdax=0),((\partialL)/(\partialy):2y-1-2/9\lambday=0),((\partialL)/(\partial\lambda): -x^2-y^2/9+1=0):}$
Quindi con l'annullamento del prodotto trovo
$\{(x=0 ^^ \lambda=2),(y=1/2 ^^ \lambda=9),(-x^2-y^2/9+1=0):}$
e quindi a ruota decido i valori di $x,y$ per trovare l'altro valore dalla terza equazione. Posso anche ignorare il $\lambda$ e trovare direttamente i due punti, giusto?
Solo che con $x=0$ trovo $y=+-3$ ma nella soluzione mi da solo il punto $P(0,-3)$, max assoluto. Ho controllato calcolando $\lambda$ caso mai venisse impossibile ma in entrambi i casi vengono due numeri normali. Sapete spiegarmi perchè il +3 viene buttato?
Non è che per caso è perchè $f(0,3)=9-3=6$ e $f(0,-3)=9+3=12$ e quindi il massimo è $P(0,-3)$ massimo assoluto?
Risposte
Certamente essendo $f(0,3)< f(0,-3)$ il max assoluto è dato dal punto $(0,-3) $
E il minimo assoluto qual è ?
Però così facendo hai cercato quel che succede solo sul bordo ( = ellisse) del dominio e dentro il dominio che succede ?
Ricorda che il vincolo è $ x^2+y^2/9 <=1 $
Bisogna anche risolvere il sistema
$f_x=0 $
$f_y=0 $
e trovare il punto critico (interno ) vedere che valore vi assume la funzione e confrontarlo col valore in $f(0,3)$
P.S. prima di dire che il punto $(0,-3)$ è di max assoluto devi risolvere il sistema sopra detto e confrontare i valori della funzione nei tre punti.
E il minimo assoluto qual è ?
Però così facendo hai cercato quel che succede solo sul bordo ( = ellisse) del dominio e dentro il dominio che succede ?
Ricorda che il vincolo è $ x^2+y^2/9 <=1 $
Bisogna anche risolvere il sistema
$f_x=0 $
$f_y=0 $
e trovare il punto critico (interno ) vedere che valore vi assume la funzione e confrontarlo col valore in $f(0,3)$
P.S. prima di dire che il punto $(0,-3)$ è di max assoluto devi risolvere il sistema sopra detto e confrontare i valori della funzione nei tre punti.
Si avevo solo il problema di questo. Il minimo è $(0,1/2)$ dove $f(0,1/2)=1/4-1/2=-1/4$
Per l'interno devo fare $f(0,0)$? Non ho mai capito sta cosa qui dell'interno e del bordo. Nella soluzione mi da solo quei due punti che ho indicato come massimo e minimo
Edit: finito questo ne ho un altro che non so fare perchè sembra mi obblighi ad usare la forma parametrica. Lo scrivo ora perchè poi me lo dimentico. $f(x,y)=(2x-x^2)(y-y^2)$ $E={(x,y)\inRR^2||x|<=2,-1<=y<=1}$
Per l'interno devo fare $f(0,0)$? Non ho mai capito sta cosa qui dell'interno e del bordo. Nella soluzione mi da solo quei due punti che ho indicato come massimo e minimo
Edit: finito questo ne ho un altro che non so fare perchè sembra mi obblighi ad usare la forma parametrica. Lo scrivo ora perchè poi me lo dimentico. $f(x,y)=(2x-x^2)(y-y^2)$ $E={(x,y)\inRR^2||x|<=2,-1<=y<=1}$
Cosa vuol dire $f(0,0) $ ? No per trovare i candidati punti critici devi risolvere il sistema
$f_x = 4x=0 $
$f_y= 2y-1=0 $ che ha appunto per soluzione il punto $( 0,1/2) $ poi calcoli il valore della funzione nei punti
$ (0,1/2);(0,3);(0,-3)$ e da questo deduci quali sino i punti di max assoluto e di min assoluto nel dominio indicato.
Il max assoluto sta sul bordo, il min assoluto sta all'interno dell'ellisse.OK ?
$f_x = 4x=0 $
$f_y= 2y-1=0 $ che ha appunto per soluzione il punto $( 0,1/2) $ poi calcoli il valore della funzione nei punti
$ (0,1/2);(0,3);(0,-3)$ e da questo deduci quali sino i punti di max assoluto e di min assoluto nel dominio indicato.
Il max assoluto sta sul bordo, il min assoluto sta all'interno dell'ellisse.OK ?
Dominio E del secondo esercizio è un rettangolo inclusi i lati.
Risolvendo il sistema
$f_x=0 $
$f_y=0 $
verifichi se ci sono punti critici all'interno del rettangolo.
Poi va considerato il perimetro del rettangolo, a dire meglio i suoi lati che hanno equazione parametrica molto semplice .
Ad es. $y=1 ,-x<=x<=2$ etc
$x=-2 ; -1<=y<=1 $ etc .
Sostituisci nella funzione le varie equazioni parametriche , una alla volta e ti sei ridotto a funzioni di una sola variabile..
Risolvendo il sistema
$f_x=0 $
$f_y=0 $
verifichi se ci sono punti critici all'interno del rettangolo.
Poi va considerato il perimetro del rettangolo, a dire meglio i suoi lati che hanno equazione parametrica molto semplice .
Ad es. $y=1 ,-x<=x<=2$ etc
$x=-2 ; -1<=y<=1 $ etc .
Sostituisci nella funzione le varie equazioni parametriche , una alla volta e ti sei ridotto a funzioni di una sola variabile..
"Camillo":
Cosa vuol dire $f(0,0) $ ? No per trovare i candidati punti critici devi risolvere il sistema
$f_x = 4x=0 $
$f_y= 2y-1=0 $ che ha appunto per soluzione il punto $( 0,1/2) $ poi calcoli il valore della funzione nei punti
$ (0,1/2);(0,3);(0,-3)$ e da questo deduci quali sino i punti di max assoluto e di min assoluto nel dominio indicato.
Il max assoluto sta sul bordo, il min assoluto sta all'interno dell'ellisse.OK ?
Ah ok ora ci sono. Non capivo cosa intendevi con $f_x$ e $f_y$
Quindi nel secondo esercizio risolvo il sistema
$\{(2x-x^2=0),(y-y^2=0):}$ che ha come risultato $x=0 ^^ x=2; y=0 ^^ y=1$ e sostituisco i valori nella funzione? Cioè faccio $f(0,0)$ e $f(2,1)$ e vedo cosa viene? Così trovo cosa succede all'interno? Poi? Come sostituisco le equazioni parametriche dentro la funzione se variano tra due punti?
"Shika93":
Quindi nel secondo esercizio risolvo il sistema
$ \{(2x-x^2=0),(y-y^2=0):} $ che ha come risultato $ x=0 ^^ x=2; y=0 ^^ y=1 $ e sostituisco i valori nella funzione? Cioè faccio $ f(0,0) $ e $ f(2,1) $ e vedo cosa viene? Così trovo cosa succede all'interno? Poi? Come sostituisco le equazioni parametriche dentro la funzione se variano tra due punti?
Il metodo è sempre quello:
- calcola il gradiente
- trova i valori che annullano il gradiente
- calcola l'hessiana
- studia l'hessiana nei punti trovati prima (che annullano il gradiente)
Poi è assurdo secondo me fare gli esercizi a questo livello senza neanche avere un'idea della forma della superficie. (Quando poi dovrai trovare gli estremi di funzioni in $RR^4$ ne riparliamo).
Ad esempio scarichi un software come questo: http://k3dsurf.sourceforge.net/ è gratis, è completo e bello da usare. All'inizio sembra che perdi tempo ma poi ti accorgi che ti aiuta molto.
Perfetto ho capito.
Fortunatamente io con matematica avrei "finito". Analisi 1,2, geometria e algebra, metodi matematici (trasformate ecc)
Grazie mille!
Fortunatamente io con matematica avrei "finito". Analisi 1,2, geometria e algebra, metodi matematici (trasformate ecc)
Grazie mille!
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