Massimi e minimi Aiuto!
Devo trovare massimi e minimi della funzione $ x^3 + y^3 - 3x^2 - 12y $ nel quadrato con centro nell'origine ed un vertice in (3,3).
Ho trovato la derivata rispetto ad x che si annulla in x=0 e x=2, mentre la derivata rispetto ad y si annulla in y=2 e y=-2.
Mi chiedo se i punti in cui annullano entrambe le derivate sono (0,2) (0,-2) (2,2) (2,-2) poichè la derivata rispetto ad x è una funzione solo in x e la derivata rispetto ad y è una funzione solo rispetto ad y.
Poi ho calcolato la funzione sul lato del quadrato x=3, ho derivato tale funzione e l'ho annullata ricavando i punti (3,2) (3,-2). Ho ripetuto questo procedimento su tutti gli altri lati, ottendendo altri punti, ho quindi calcolato la funzione in ciascuno di questi e nei veritici del quadrato ed il valore minimo trovato è stato -63 mentre il massimo.....
Il risultato del testo è minimo -61 e massimo 114.
Il mio procedimento è corretto? perchè non mi trovo col risultato del libro?
Grazie!
Ho trovato la derivata rispetto ad x che si annulla in x=0 e x=2, mentre la derivata rispetto ad y si annulla in y=2 e y=-2.
Mi chiedo se i punti in cui annullano entrambe le derivate sono (0,2) (0,-2) (2,2) (2,-2) poichè la derivata rispetto ad x è una funzione solo in x e la derivata rispetto ad y è una funzione solo rispetto ad y.
Poi ho calcolato la funzione sul lato del quadrato x=3, ho derivato tale funzione e l'ho annullata ricavando i punti (3,2) (3,-2). Ho ripetuto questo procedimento su tutti gli altri lati, ottendendo altri punti, ho quindi calcolato la funzione in ciascuno di questi e nei veritici del quadrato ed il valore minimo trovato è stato -63 mentre il massimo.....
Il risultato del testo è minimo -61 e massimo 114.
Il mio procedimento è corretto? perchè non mi trovo col risultato del libro?
Grazie!
Risposte
La prima domanda è molto interessante.
Ragioniamo.
Affinchè un punto sia critico entrambe le derivate parziali si devono annullare.
Dunque, logicamente vuol dire che:
Derivata_x=0 E Derivata_y=0
Ora, se tu hai per la prima proposizione (Derivata_x=0) l' equivalenza:
Derivata_x=0 $hArr$ x=0 OPPURE x=2
allora significa che ne basta una delle due per far si che l' affermazione Derivata_x=0 sia vera.
Idem per derivata_y.
Quindi affinchè entrambe le condizioni siano vere, è SUFFICIENTE che in entrambe le variabili esse assumano un valore per il quale la derivata si annulli, in altre parole tutti e 4 i punti sono critici ( (0,-2), (0,2), (2,-2), (2,2)).
E' un pò come dire:
Per comprarmi una casa mi servono i soldi E qualcuno che me la costruisca
I soldi li posso rubare O vincere alla lotteria.
A costruirla posso essere io O un architetto.
In tutti e i seguenti casi avrò la mia casa:
1- Rubo, costruisto
2- Rubo, architetto
3- Lotteria, costruisco
4- Lotteria, architeto.
Yep!!
Ragioniamo.
Affinchè un punto sia critico entrambe le derivate parziali si devono annullare.
Dunque, logicamente vuol dire che:
Derivata_x=0 E Derivata_y=0
Ora, se tu hai per la prima proposizione (Derivata_x=0) l' equivalenza:
Derivata_x=0 $hArr$ x=0 OPPURE x=2
allora significa che ne basta una delle due per far si che l' affermazione Derivata_x=0 sia vera.
Idem per derivata_y.
Quindi affinchè entrambe le condizioni siano vere, è SUFFICIENTE che in entrambe le variabili esse assumano un valore per il quale la derivata si annulli, in altre parole tutti e 4 i punti sono critici ( (0,-2), (0,2), (2,-2), (2,2)).
E' un pò come dire:
Per comprarmi una casa mi servono i soldi E qualcuno che me la costruisca
I soldi li posso rubare O vincere alla lotteria.
A costruirla posso essere io O un architetto.
In tutti e i seguenti casi avrò la mia casa:
1- Rubo, costruisto
2- Rubo, architetto
3- Lotteria, costruisco
4- Lotteria, architeto.
Yep!!
okay, poi perchè non mi trovo?
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