Massimi e minimi
Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per la risoluzione del seguente esercizio.
Determinare eventuali estremi relativi della funzione
$g(x,y)=4x^2+y^2$
nel quadrato di vertici (0,0),(4,0),(0,4),(4,4) che chiameremo Q.
Per prima cosa cerchiamo i punti critici di g su $RR^2$
Dato che $g_x=8x$ e $g_y=2y$ ho che (0,0) è punto critico, ma si trova sulla frontiera. Quindi non abbiamo punti critici interni a Q.
A questo punto bisogna studiare g nella frontiera di Q, ma non ho capito bene come si fa.
volevo chiedervi una mano per la risoluzione del seguente esercizio.
Determinare eventuali estremi relativi della funzione
$g(x,y)=4x^2+y^2$
nel quadrato di vertici (0,0),(4,0),(0,4),(4,4) che chiameremo Q.
Per prima cosa cerchiamo i punti critici di g su $RR^2$
Dato che $g_x=8x$ e $g_y=2y$ ho che (0,0) è punto critico, ma si trova sulla frontiera. Quindi non abbiamo punti critici interni a Q.
A questo punto bisogna studiare g nella frontiera di Q, ma non ho capito bene come si fa.
Risposte
Devi restringere la funzione ai vari tratti di curva, e studiare la funzione di una variabile che ne esce...
Ad esempio, se dovessi studiare la funzione \(\displaystyle f(x,y) = x^2+x-y^3 \) sul cerchio di raggio 1 e centro l'origine,
andrei a trovare una parametrizzazione del cerchio: \(\displaystyle (x(t),y(t))=(cos(t),sin(t)) \) e restringerei la funzione
a quel dominio particolare, dunque:
\(\displaystyle f(x(t),y(t))=(cos(t))^2+cos(t)+(sin(t))^3 \)
e così ora dovrei cercare i massimi e minimi di questa funzione a 1 sola variabile, con lo studio della derivata...
Ad esempio, se dovessi studiare la funzione \(\displaystyle f(x,y) = x^2+x-y^3 \) sul cerchio di raggio 1 e centro l'origine,
andrei a trovare una parametrizzazione del cerchio: \(\displaystyle (x(t),y(t))=(cos(t),sin(t)) \) e restringerei la funzione
a quel dominio particolare, dunque:
\(\displaystyle f(x(t),y(t))=(cos(t))^2+cos(t)+(sin(t))^3 \)
e così ora dovrei cercare i massimi e minimi di questa funzione a 1 sola variabile, con lo studio della derivata...
Osservo che nel tuo caso ti tocca esprimere la frontiera $\partial Q$ come unione di 4 curve (in particolare 4 segmenti). Procedendo come ti ha mostrato Zaphod, devi restringere la $f$ a ciascuno di questi segmenti (lo so, che palle) 
Esatto... solo che sono curve più che banali, per fortuna....
Vediamo se ho capito. Sia Q il rettangolo della seguente figura: http://imageshack.us/photo/my-images/207/72899558.png/
allora devo considerare la frontiera come l'unione di quattro segmenti giacenti rispettivamente sulle rette x=0,y=0,x=4,y=4.
Effettuando le restrizioni sulle rette:
1)$g(0,y)=y^2$ da cui $g'=2y$
2)$g(x,0)=4x^2$ da cui $g'=8x$
3)$g(4,y)=64+y^2$ da cui $g'=2y$
4)$g(x,4)=4x^2+16$ da cui $g'=8x$
Quindi se per esempio 3) ha minimo relativo per x=0 allora (0,4) è di minimo relativo per la funzione di partenza?
allora devo considerare la frontiera come l'unione di quattro segmenti giacenti rispettivamente sulle rette x=0,y=0,x=4,y=4.
Effettuando le restrizioni sulle rette:
1)$g(0,y)=y^2$ da cui $g'=2y$
2)$g(x,0)=4x^2$ da cui $g'=8x$
3)$g(4,y)=64+y^2$ da cui $g'=2y$
4)$g(x,4)=4x^2+16$ da cui $g'=8x$
Quindi se per esempio 3) ha minimo relativo per x=0 allora (0,4) è di minimo relativo per la funzione di partenza?
Si ma più precisamente devi effettuare le restrizioni sui segmenti, non sulle rette. Quindi, ad esempio,
della restrizione $g(0,y)$ dovrai specificare che $0\leq y \leq4$.
PS: come fa la (3) ad avere un massimo/minimo in $(0,4)$?
della restrizione $g(0,y)$ dovrai specificare che $0\leq y \leq4$.
PS: come fa la (3) ad avere un massimo/minimo in $(0,4)$?
"Plepp":
PS: come fa la (3) ad avere un massimo/minimo in $(0,4)$?
Infatti hai ragione. Ero sovrappensiero.
Prendiamo 2) per esempio.
$g(x,0)=4x^2$ con $0<=x<=4$
In tal caso si ha che tale funzione ha minimo per x=0 e massimo per x=4. Quindi (0,0) sarà di minimo relativo per g mentre (4,0) è di massimo relativo. Giusto?
Ok ora si 
Perfetto. Grazie.
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