Massimi e minimi
per curiosità mi è venuta voglia di provare a trovare eventuali minimi
e massimi di una funzione da Rn a R senza ricorrere alle matrici
hessiane.
Ho proceduto così:
F(x,y) = xy + 2x^2 + 3y^3
derivata rispetto a x: Dx = y + 4x
derivata rispetto a y: Dy = x + 9y^2
a questo punto pongo il gradiente uguale a 0 e trovo due punti stazionari:
A = (0;0) e B = (-1/144;1/36)
ora analizzo il punto A:
prendo Dx e sostituisco alla y lo 0: Dx = 4x
pongo Dx > 0 e ottengo che x > 0... questo significa che (0;0) è un
punto di minimo rispetto alla variabile x
prendo Dy e sostituisco alla x lo 0: Dy = 9y^2
pongo Dy > 0 e ottengo che y^2 > 0... questo significa che (0;0) non è
un punto ne di minimo ne di massimo rispetto alla variabile y...
consegue che A è solo un punto stazionario nella funzione F(x,y)
ora analizzo il punto B... procedendo con lo stesso metodo ottengo che
il punto è un minimo nel punto -1/144 rispetto alla variabile x, ed è
anche un minimo nel punto 1/36 rispetto alla variabile y... da qui
deduco che B è un minimo per la funzione F(x,y)
che ne dite?? funziona??
se così funziona allora non è indispensabile il concetto di matrice hessiana??
grazie mille
e massimi di una funzione da Rn a R senza ricorrere alle matrici
hessiane.
Ho proceduto così:
F(x,y) = xy + 2x^2 + 3y^3
derivata rispetto a x: Dx = y + 4x
derivata rispetto a y: Dy = x + 9y^2
a questo punto pongo il gradiente uguale a 0 e trovo due punti stazionari:
A = (0;0) e B = (-1/144;1/36)
ora analizzo il punto A:
prendo Dx e sostituisco alla y lo 0: Dx = 4x
pongo Dx > 0 e ottengo che x > 0... questo significa che (0;0) è un
punto di minimo rispetto alla variabile x
prendo Dy e sostituisco alla x lo 0: Dy = 9y^2
pongo Dy > 0 e ottengo che y^2 > 0... questo significa che (0;0) non è
un punto ne di minimo ne di massimo rispetto alla variabile y...
consegue che A è solo un punto stazionario nella funzione F(x,y)
ora analizzo il punto B... procedendo con lo stesso metodo ottengo che
il punto è un minimo nel punto -1/144 rispetto alla variabile x, ed è
anche un minimo nel punto 1/36 rispetto alla variabile y... da qui
deduco che B è un minimo per la funzione F(x,y)
che ne dite?? funziona??
se così funziona allora non è indispensabile il concetto di matrice hessiana??
grazie mille
Risposte
no: va bene per dimostrare che un punto critico non è di massimo e nemmeno di minimo, come il tuo punto A. Ma il fatto che un punto sia di minimo nelle due variabili separatamente non è sufficiente a concludere che il punto sia di minimo per la funzione. prendi $f(x,y)=xy$. Nell'origine ha un punto a sella ma rispetto alle due variabili separatamente è costante.
"dissonance":
no: va bene per dimostrare che un punto critico non è di massimo e nemmeno di minimo, come il tuo punto A. Ma il fatto che un punto sia di minimo nelle due variabili separatamente non è sufficiente a concludere che il punto sia di minimo per la funzione. prendi $f(x,y)=xy$. Nell'origine ha un punto a sella ma rispetto alle due variabili separatamente è costante.
si non funziona, ma ho provato con l'hessiana e mi salta fuori
$[0,1]$
$[1,0]$
e non funziona uguale perche H1 = 0 e H2 = -1
che cosa vuoi dire? forse che la matrice hessiana non ti permette di capire che tipo di punto critico sia l'origine per $f(x,y)=(0,0)$? Se è così hai ragione perché quella matrice non è definita. (In realtà, se osservi che quella matrice ha anche rango massimo, già potresti concludere che il punto è di sella, ma ci sono sistemi più semplici).
Puoi arrivare a dire che il punto è di sella in vari modi, sicuramente il più semplice è osservare i segni: in qualsiasi intorno dello $(0,0)$ la funzione cambia segno, quindi il punto non può essere di massimo e nemmeno di minimo;
se consideri la funzione lungo le bisettrici degli assi, ti accorgi che lungo la bisettrice passante nel 1° e nel 3° quadrante la funzione ha un minimo nello zero, invece lungo l'altra bisettrice la funzione ha un massimo, e quindi il punto non è di massimo né di minimo;
e poi ci saranno sicuramente altri sistemi... In generale, (per quello che ho visto), quando la mat. hessiana non è definita bisogna inventarsi volta per volta qualche trucco per dimostrare la natura del punto critico.
Puoi arrivare a dire che il punto è di sella in vari modi, sicuramente il più semplice è osservare i segni: in qualsiasi intorno dello $(0,0)$ la funzione cambia segno, quindi il punto non può essere di massimo e nemmeno di minimo;
se consideri la funzione lungo le bisettrici degli assi, ti accorgi che lungo la bisettrice passante nel 1° e nel 3° quadrante la funzione ha un minimo nello zero, invece lungo l'altra bisettrice la funzione ha un massimo, e quindi il punto non è di massimo né di minimo;
e poi ci saranno sicuramente altri sistemi... In generale, (per quello che ho visto), quando la mat. hessiana non è definita bisogna inventarsi volta per volta qualche trucco per dimostrare la natura del punto critico.
"mamo139":
$F(x,y) = xy + 2x^2 + 3y^3$
Se consideri i punti del tipo $(0 ; y)$ basta studiare $F(0;y) = 3 y^3$
che non ha né max né min assoluti.
Poi i casi stazionari vanno analizzati a parte.
capito... comunque alla fine mi sembra di aver capito che l'hessiana puo essere sostituita da altri metodi giusto? è solo comoda quando si lavora con molte dimensioni no?
"mamo139":
capito... comunque alla fine mi sembra di aver capito che l'hessiana puo essere sostituita da altri metodi giusto? è solo comoda quando si lavora con molte dimensioni no?
La risposta che ti ho dato io si riferisce all'analisi del max e min assoluti.
In ogni caso, spesso l'Hessiana è inutile.
Prendi la funzione
$F(x;y) = x^4 - y^6$
è ovvio che l'origine è una sella, ma senza l'Hessiana!
grazie per le risposte 
eh ma io non capisco quando diventa indispensabile... perche ad esempio con i modo che ho scritto io mi sembra di poterne fare a meno...
"franced":
In ogni caso, spesso l'Hessiana è inutile.
eh ma io non capisco quando diventa indispensabile... perche ad esempio con i modo che ho scritto io mi sembra di poterne fare a meno...
Secondo me ti stai facendo un'idea sbagliata: lo studio della matrice hessiana non è un fatto di comodità.
Il metodo che hai proposto tu non va bene, e ne abbiamo già parlato prima, perché sapere la natura di un punto critico rispetto alle variabili singolarmente non è sufficiente a concludere nulla.
L'unica informazione che puoi ottenere con questo sistema non riguarda la funzione, ma le restrizioni della funzione alle rette parallele agli assi coordinati: ti servirebbero informazioni rispetto a tutte le altre direzioni, che sono infinite già in $RR^2$.
Il metodo che hai proposto tu non va bene, e ne abbiamo già parlato prima, perché sapere la natura di un punto critico rispetto alle variabili singolarmente non è sufficiente a concludere nulla.
L'unica informazione che puoi ottenere con questo sistema non riguarda la funzione, ma le restrizioni della funzione alle rette parallele agli assi coordinati: ti servirebbero informazioni rispetto a tutte le altre direzioni, che sono infinite già in $RR^2$.
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