Massimi e minimi
Ciao, mi potreste dire i massimi e minimi di questa funzione:
$f(x) = sqrt((pi/4)x - cotan(x))$
$f(x) = sqrt((pi/4)x - cotan(x))$
Risposte
Un tuo tentativo di risoluzione? Prova a fare la derivata e vedi cosa succede.
L'ho fatta ma non so se è giusto soprattutto perché non riesco bene a capire il dominio e quindi non so quali valori prendere
Scrivi i passaggi della derivata, almeno vediamo insieme se c'è qualche errore!
Per quanto riguarda il dominio, in effetti non è immediato in quanto deve risultare $\frac{\pi}{4}x \geq \cot x$; quest'ultima è una disequazione trascendente.
Per quanto riguarda il dominio, in effetti non è immediato in quanto deve risultare $\frac{\pi}{4}x \geq \cot x$; quest'ultima è una disequazione trascendente.
Grazie per la disponibilità.
La derivata dovrebbe essere:
$f(x)' = 1/2((pi/4)x-cot(x))^(-1/2)(pi/4-1/(1+x^2))$
Svolegendo i passaggi:
$f(x)' = (pix^2+pi-4)/(8sqrt((pi/4)x-cot(x))(1+x^2))$
Che è maggiore di 0 se e solo se il numeratore è maggiore di zero ovvero:
$pix^2 + pi - 4 > 0$
mi escono fuori:
$x<-sqrt(4/pi-1)$ e $x>sqrt(4/pi-1)$
E dico che siccome per x che va a meno infinito la funzione va a meno infinito $-sqrt(4/pi-1)$ è un massimo assoluto.
Per x che va a pi/2 invece la funzione va a più infinito e quindi $sqrt(4/pi-1)$ è un minimo relativo.
Cosa sbaglio?oltre al dominio che non so calcolare
La derivata dovrebbe essere:
$f(x)' = 1/2((pi/4)x-cot(x))^(-1/2)(pi/4-1/(1+x^2))$
Svolegendo i passaggi:
$f(x)' = (pix^2+pi-4)/(8sqrt((pi/4)x-cot(x))(1+x^2))$
Che è maggiore di 0 se e solo se il numeratore è maggiore di zero ovvero:
$pix^2 + pi - 4 > 0$
mi escono fuori:
$x<-sqrt(4/pi-1)$ e $x>sqrt(4/pi-1)$
E dico che siccome per x che va a meno infinito la funzione va a meno infinito $-sqrt(4/pi-1)$ è un massimo assoluto.
Per x che va a pi/2 invece la funzione va a più infinito e quindi $sqrt(4/pi-1)$ è un minimo relativo.
Cosa sbaglio?oltre al dominio che non so calcolare
Scusami mi sono accorto già di un errore stupido sono sia massimo che minimo relativi
La derivata è sbagliata, perché $\cot x:=\frac{\cos x}{\sin x}$; invece tu l'hai derivata come se fosse $\arctan x$.
Quindi riprova, attenzione che $\cot x \ne \arctan x$!
Perciò tutto il discorso dopo è sicuramente sbagliato (nel senso che è sbagliato perché è sbagliata la derivata, non perché sia sbagliato in sé)
Quindi riprova, attenzione che $\cot x \ne \arctan x$!
Perciò tutto il discorso dopo è sicuramente sbagliato (nel senso che è sbagliato perché è sbagliata la derivata, non perché sia sbagliato in sé)
Altro errore stupido ho scritto cot ma è giusto arctan 
Quindi la funzione è questa?
$$f(x)=\sqrt{\frac{\pi}{4}x-\arctan x}$$
$$f(x)=\sqrt{\frac{\pi}{4}x-\arctan x}$$
si
Ok! Cominciamo di nuovo dal dominio allora.
In questo caso puoi trovare molte informazioni considerando la funzione interna alla radice, ossia $g(x):=\frac{\pi}{4}x-\arctan x$.
Cosa puoi dire riguardo a questa funzione?
"Ad occhio" si vede che $x=-1$, $x=0$ ed $x=1$ annullano $f(x)$; ma sono gli unici punti ad annullarla?
Per quanto riguarda la derivata, risulta quindi corretto il calcolo della derivata di prima; però la funzione a $-\infty$ non esiste, perciò non ha senso farne il limite.
Questo lo puoi dedurre anche senza conoscere il dominio, perché $\arctan x$ è limitata e dunque per $x \to -\infty$ l'argomento della radice diventerebbe negativo prima o poi essendo $\frac{\pi}{4}x$ illimitata inferiormente.
Bisogna rivedere un po' il discorso una volta trovato il dominio
In questo caso puoi trovare molte informazioni considerando la funzione interna alla radice, ossia $g(x):=\frac{\pi}{4}x-\arctan x$.
Cosa puoi dire riguardo a questa funzione?
"Ad occhio" si vede che $x=-1$, $x=0$ ed $x=1$ annullano $f(x)$; ma sono gli unici punti ad annullarla?
Per quanto riguarda la derivata, risulta quindi corretto il calcolo della derivata di prima; però la funzione a $-\infty$ non esiste, perciò non ha senso farne il limite.
Questo lo puoi dedurre anche senza conoscere il dominio, perché $\arctan x$ è limitata e dunque per $x \to -\infty$ l'argomento della radice diventerebbe negativo prima o poi essendo $\frac{\pi}{4}x$ illimitata inferiormente.
Bisogna rivedere un po' il discorso una volta trovato il dominio
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