Massimi e minimi
Buonasera a tutti, mi serve nuovamente il vostro grandissimo aiuto!
Dovrei calcolare i massimi e minimi per una funzione definita a tratti:
per $x<3$ si ha $x^2-2x$
per $x>=3$ si ha $-(1/2)^x$
Ponendo la derivata prima della prima funzione uguale a 0 ho ottenuto un punto di minimo assoluto in x=1
La derivata prima della mia seconda funzione mi risulta invece sempre maggiore di 0, non presentando punti stazionari di alcun tipo. Mi verrebbe dunque da dire che la funzione in generale presenta solo il minimo assoluto precedentemente rilevato.
Questo, almeno, è quello che sono riuscito ad ottenere ragionando per derivate. Ciò che mi lascia perplesso è che per x=3 la funzione se non sbaglio dovrebbe assumere, anche dalla visione del grafico, un valore che può essere assimilabile ad un minimo relativo... forse sbaglio?
Se ciò che ho dedotto fosse vero, è possibile che non tutti i punti si massimo, minimo siano rilevabile mediante la derivata?
Grazie in anticipo a tutti!
Dovrei calcolare i massimi e minimi per una funzione definita a tratti:
per $x<3$ si ha $x^2-2x$
per $x>=3$ si ha $-(1/2)^x$
Ponendo la derivata prima della prima funzione uguale a 0 ho ottenuto un punto di minimo assoluto in x=1
La derivata prima della mia seconda funzione mi risulta invece sempre maggiore di 0, non presentando punti stazionari di alcun tipo. Mi verrebbe dunque da dire che la funzione in generale presenta solo il minimo assoluto precedentemente rilevato.
Questo, almeno, è quello che sono riuscito ad ottenere ragionando per derivate. Ciò che mi lascia perplesso è che per x=3 la funzione se non sbaglio dovrebbe assumere, anche dalla visione del grafico, un valore che può essere assimilabile ad un minimo relativo... forse sbaglio?
Se ciò che ho dedotto fosse vero, è possibile che non tutti i punti si massimo, minimo siano rilevabile mediante la derivata?
Grazie in anticipo a tutti!
Risposte
Ciao peck
La derivata della funzione e
$2x-2$ per $x <3$
$-(1/2)^x ln (1/2) $ per $x>3$
Se non vado errato
Come puoi notare in $x=3$ la funzione non e derivabile perche i limiti destro e sinistro della derivata non coincidono.
C e un punto angoloso nel tuo caso
Li hai studiati i punti di non derivabilita? Punto angoloso, cuspide e flesso tangente verticale
La derivata della funzione e
$2x-2$ per $x <3$
$-(1/2)^x ln (1/2) $ per $x>3$
Se non vado errato
Come puoi notare in $x=3$ la funzione non e derivabile perche i limiti destro e sinistro della derivata non coincidono.
C e un punto angoloso nel tuo caso
Li hai studiati i punti di non derivabilita? Punto angoloso, cuspide e flesso tangente verticale
Ciao mazzarri! Ti ringrazio molto per avermi risposto
Per quanto riguarda i punti di non derivabilità il professore non ce li ha spiegati precisamente, da ciò la mia lacuna. Sono appena andato a studiarmeli per conto mio e credo di aver capito.
Correggimi se sbaglio: per x=3 abbiamo un punto di non derivabilità, in questo caso angoloso; questo dovrebbe essere il motivo per il quale non trovavo attraverso le derivate il punto x=3 come punto stazionario e quindi come candidato ad essere minimo.
È giusto come ragionamento? Sempre se non sbaglio, il fatto che sia un punto angoloso non mi preclude la possibilità di identificarlo come minimo relativo...
Per quanto riguarda i punti di non derivabilità il professore non ce li ha spiegati precisamente, da ciò la mia lacuna. Sono appena andato a studiarmeli per conto mio e credo di aver capito.
Correggimi se sbaglio: per x=3 abbiamo un punto di non derivabilità, in questo caso angoloso; questo dovrebbe essere il motivo per il quale non trovavo attraverso le derivate il punto x=3 come punto stazionario e quindi come candidato ad essere minimo.
È giusto come ragionamento? Sempre se non sbaglio, il fatto che sia un punto angoloso non mi preclude la possibilità di identificarlo come minimo relativo...
Dici tutto correttamente hai capito bene
Hai un punto angoloso in $x=3$
Inoltre il punto angoloso e la cuspide possono essere a tutti gli effetti dei minimi o dei massimi.
Vedi come esempio la funzione $y=|x|$ che ha nell'origine un minimo... la funzione in quel punto è definita e continua (vale $0$) ma non è derivabile perchè le sue derivate destra e sinistra valgono $+1$ e $-1$, ha un punto angoloso che è anche il minimo della funzione
Del resto un minimo (per esempio) non si definisce come un punto in cui la derivata prima si annula... quello è solo un punto a TANGENTE ORIZZONTALE che può essere di tre tipi (e il flesso a tangente prizzontale di certo non è un minimo/massimo relativo). Il minimo lo definisci come quel punto (in cui la funzione sia definita) che a sinistra vede la funzione decrescente e a destra crescente, nulla toglie che in quel punto la derivata non si possa fare
Hai un punto angoloso in $x=3$
Inoltre il punto angoloso e la cuspide possono essere a tutti gli effetti dei minimi o dei massimi.
Vedi come esempio la funzione $y=|x|$ che ha nell'origine un minimo... la funzione in quel punto è definita e continua (vale $0$) ma non è derivabile perchè le sue derivate destra e sinistra valgono $+1$ e $-1$, ha un punto angoloso che è anche il minimo della funzione
Del resto un minimo (per esempio) non si definisce come un punto in cui la derivata prima si annula... quello è solo un punto a TANGENTE ORIZZONTALE che può essere di tre tipi (e il flesso a tangente prizzontale di certo non è un minimo/massimo relativo). Il minimo lo definisci come quel punto (in cui la funzione sia definita) che a sinistra vede la funzione decrescente e a destra crescente, nulla toglie che in quel punto la derivata non si possa fare
Perfetto grazie mille davvero.
Un'ultima cosa, c'è una sorta di tecnica-strategia per accorgermi dell'esistenza di punti di non derivabilità?
Un'ultima cosa, c'è una sorta di tecnica-strategia per accorgermi dell'esistenza di punti di non derivabilità?
Si eccome
1) spesso si celano nelle funzione definite a tratti come la tua... nei "punti di mezzo" per dirla alla Tolkien... fai la derivata e guardi in quei punti se a destra e a sinistra la derivata è identica... se lo è tutto a posto, la funzione è derivabile... se non lo è sai come comportarti adesso
2) altre volte si celano nelle funzioni con il valore assoluto, proprio perchè esplicitando il valore assoluto diventano definite a tratti... esempio $|x|$
3) altre volte subdolamente sono nelle funzioni con radici dispari, esempio $root(3)(x^2)$... se derivi ti accorgi che nell'origine, punto di esistenza e continuità... la derivata non è definita!! non esiste!! provaci.
Quindi attento a questi tre casi e in generale quando derivi guarda sempre se non sono comparsi dal nulla punti in cui la derivata non esiste perchè per esempio derivando si forma un denominatore che prima non c'era
ciao!!
1) spesso si celano nelle funzione definite a tratti come la tua... nei "punti di mezzo" per dirla alla Tolkien... fai la derivata e guardi in quei punti se a destra e a sinistra la derivata è identica... se lo è tutto a posto, la funzione è derivabile... se non lo è sai come comportarti adesso
2) altre volte si celano nelle funzioni con il valore assoluto, proprio perchè esplicitando il valore assoluto diventano definite a tratti... esempio $|x|$
3) altre volte subdolamente sono nelle funzioni con radici dispari, esempio $root(3)(x^2)$... se derivi ti accorgi che nell'origine, punto di esistenza e continuità... la derivata non è definita!! non esiste!! provaci.
Quindi attento a questi tre casi e in generale quando derivi guarda sempre se non sono comparsi dal nulla punti in cui la derivata non esiste perchè per esempio derivando si forma un denominatore che prima non c'era
ciao!!
Che dire... grazie, grazie e ancora grazie!
Ciao!!!
Ciao!!!
Figurati ciao!
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