Massimi e minimi

[nikap94]

Determinare se esistono, massimi e minimi relativi e assoluti della seguente funzione:
$ f(x,y)=yln(1+x^2)+x^3 $

per ora ho trovato che il gradiente si annulla per tutti i punti $ (0,y) $ ...come potrei procedere?

[Bulls1]

"nikapo":Determinare se esistono, massimi e minimi relativi e assoluti della seguente funzione:
$ f(x,y)=yln(1+x^2)+x^3 $

per ora ho trovato che il gradiente si annulla per tutti i punti $ (0,y) $ ...come potrei procedere?

ora ricorrerei alla matrice Hessiana

[nikap94]

Già ho fatto la matrice hessiana, ma viene con determinante nullo

[Bulls1]

"nikapo":Già ho fatto la matrice hessiana, ma viene con determinante nullo

Sei sicuro di aver calcolato correttamente le derivate parziali?

[nikap94]

Sono sicurissimo, l'Hessiana non va bene per questo esercizio.

[Bulls1]

"nikapo":Sono sicurissimo, l'Hessiana non va bene per questo esercizio.

Nel caso in cui ti risulti un hessiano nullo \( det(H_f(x_0,y_0))=0 \) e vuoi capire se \( (x_0,y_0) \) è un punto di massimo, minimo o di sella per \( f \) , potresti procedere con il metodo delle rette.

considera un fascio di rette passanti per \( (x_0,y_0) \)

\( y-y_0=m(x-x_0) \) al variare di \( m \)

ora lo riscrivi come:

\( y=mx-mx_0+y_0 \) al variare di \( m \)

Ora se fissi un valore \( \bar{m} \) avrai una funzione a una sola variabile.

\( (\bar{m} fissato): f(x,\bar{m} x-\bar{m} x_0+y_0):\Re\rightarrow\Re \)

calcoli la derivata prima e consideri \( x_0 \) come punto stremante di quest'ultima. Poi procedi alla ricerca di massimi e minimi come avrai studiato per le funzioni ad una variabile.

[nikap94]

Difficile calcolare un fascio di rette passanti per... una retta, dato che di retta si parla quando si parla di $ (0,y) $.
Sicuro di non parlare a vanvera e capirci qualcosa?

[Bulls1]

"nikapo":Difficile calcolare un fascio di rette passanti per... una retta, dato che di retta si parla quando si parla di $ (0,y) $.
Sicuro di non parlare a vanvera e capirci qualcosa?

avevo letto male l'intervallo.. pensavo in un punto
nono infatti non centra sorry

[nikap94]

Intervallo!?

[Bulls1]

(0,y)

[nikap94]

$ (0,y) $ sta ad indicare che fisso il valore $ x=0 $ e considero la retta coincidente con l'asse delle ordinate (asse delle y per i meno esperti)

[Bulls1]

comunque quando ti viene il determinante nullo puoi fare come ti ho detto io. non me la sono inventata quella regola

[gugo82]

"nikapo":Determinare se esistono, massimi e minimi relativi e assoluti della seguente funzione:
$ f(x,y)=yln(1+x^2)+x^3 $

per ora ho trovato che il gradiente si annulla per tutti i punti $ (0,y) $ ...come potrei procedere?

Fissato un punto \(y_0\in \mathbb{R}\) a casaccio, potresti provare a studiare il segno della funzione \(\Delta (x,y) = f(x,y) - f(0,y_0) = f(x,y)\): infatti, quando \(\Delta (x,y)\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)] intorno a \((0,y_0)\), allora \((0,y_0)\) è un punto di minimo [risp. massimo] relativo.

[nikap94]

grazie gugo82