Massimi assoluti
Trovare massimo e minimo assoluti di $f(x,y)=2x^2+y^2-y$ in $E={(x,y)\inR^3:x^2+(y^2)/9<=1}$
Quello che faccio è utilizzare lagrange ponendo
$L=2x^2+y^2-y-\lambda(x^2+(y^2)/9-1)$
Ora metto a sistema le derivate uguali a 0
\begin{align}
\begin{cases}
4x-2x\lambda=0\\
2y-1-2/9y=0\\
-x^2-y^2/9+1=0
\end{cases},
\end{align}
Ricordo che a lezione si è sempre detto che il valore di lambda non ce ne frega niente...Ma come lo risolvo il sistema se non trovo lambda? XD
Io nella prima equazione ho raccolto $2x(2-\lambda)=0 => x=0; \lambda=2$
Quindi sostituisco il valore di lambda nella seconda equazione e trovo y,
$2y-1-4/9y=0 =>y=9/14$ infine trovo x sulla terza col valore di y. E' giusto?
Quello che faccio è utilizzare lagrange ponendo
$L=2x^2+y^2-y-\lambda(x^2+(y^2)/9-1)$
Ora metto a sistema le derivate uguali a 0
\begin{align}
\begin{cases}
4x-2x\lambda=0\\
2y-1-2/9y=0\\
-x^2-y^2/9+1=0
\end{cases},
\end{align}
Ricordo che a lezione si è sempre detto che il valore di lambda non ce ne frega niente...Ma come lo risolvo il sistema se non trovo lambda? XD
Io nella prima equazione ho raccolto $2x(2-\lambda)=0 => x=0; \lambda=2$
Quindi sostituisco il valore di lambda nella seconda equazione e trovo y,
$2y-1-4/9y=0 =>y=9/14$ infine trovo x sulla terza col valore di y. E' giusto?
Risposte
Sì, giusto. In ogni caso, così hai fatto vedere cosa accade sul bordo dell'ellisse, ma dentro?
Trovato il/i punto/i calcolo $f(P)$ e trovo il massimo o minimo.
Il problema è il sistema...
$\lambda=2$
$2y-13/9=0 => y=13/18$
Ora
$y=13/18$ $-x^2-(13/18)^2/9+1=0$
Risolvendolo mi viene fuori un numero stratosferico.
In molti mi consigliano di risolvere con le matrici, ma non sono capace. Geometria non l'ho ancora studiata e ai tempi non capivo nulla con la prof che avevo xD
Il problema è il sistema...
$\lambda=2$
$2y-13/9=0 => y=13/18$
Ora
$y=13/18$ $-x^2-(13/18)^2/9+1=0$
Risolvendolo mi viene fuori un numero stratosferico.
In molti mi consigliano di risolvere con le matrici, ma non sono capace. Geometria non l'ho ancora studiata e ai tempi non capivo nulla con la prof che avevo xD
Guarda che il sistema si sdoppia. Dalla prima equazione trovi $x=0$ oppure $\lambda=2$.
Se $x=0$ si ha dalle altre due equazioni ${16}/{9} y-1=0$ e $-{y^2}/{9}+1=0$, da cui $y=9/{16}$ e $y=\pm 3$, ma questo è impossibile perché dovresti avere gli stessi valori per $y$.
Se invece $\lambda=2$ allora si hanno le deu equazioni $y=\frac{9}{16}$ e $-x^2-1/9\cdot({9}/{16})^2+1=0$, la seconda delle quali diventa $x^2={247}/{256}$ e quindi $x=\pm\frac{\sqrt{247}}{16}$.
Pertanto i punti sono $(\pm\frac{\sqrt{247}}{16},\frac{9}{16})$.
Ma in ogni caso non mi hai detto cosa fai all'interno dell'ellisse (dove Lagrange non puoi applicarlo).
Se $x=0$ si ha dalle altre due equazioni ${16}/{9} y-1=0$ e $-{y^2}/{9}+1=0$, da cui $y=9/{16}$ e $y=\pm 3$, ma questo è impossibile perché dovresti avere gli stessi valori per $y$.
Se invece $\lambda=2$ allora si hanno le deu equazioni $y=\frac{9}{16}$ e $-x^2-1/9\cdot({9}/{16})^2+1=0$, la seconda delle quali diventa $x^2={247}/{256}$ e quindi $x=\pm\frac{\sqrt{247}}{16}$.
Pertanto i punti sono $(\pm\frac{\sqrt{247}}{16},\frac{9}{16})$.
Ma in ogni caso non mi hai detto cosa fai all'interno dell'ellisse (dove Lagrange non puoi applicarlo).
Mmm non ne ho idea...Trovati i punti li mettiamo nella funzione e troviamo il massimo e minimo assoluti.
@Shilka93, potresti provare a vedere se il gradiente si annulla.
Ciao Ciampax,
Ciao Ciampax,
Ma $\gradf(x_0)=0$ non implica che $X_0$ è punto di estremo? Fermat se non sbaglio...
@gio: che il punto $(0,1/2)$ possa essere un minimo, non ci piove, ma stiamo parlando dell'interno della ellisse (infatti $0+1/{36}< 1$. Ma per il bordo, una volta fatta quella "trasformazione, dovresti ricordare che $x^2=1-\frac{y^2}{9}$ e sostituendo nella funzione originale che hai riscritto, ottenere
$F(y)=1-\frac{y^2}{9}+\frac{1}{2}(y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{8}$
e studiare questa funzione al variare di $y$ per determinare massimi e minimi sul bordo. Certo, è possibile che prima abbia fatto qualche errore di calcolo.
@Shika: il gradiente serve a determinare i punti stazionari. Per vedere se essi sono anche estremi non basta: devi usare l'hessiana.
$F(y)=1-\frac{y^2}{9}+\frac{1}{2}(y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{8}$
e studiare questa funzione al variare di $y$ per determinare massimi e minimi sul bordo. Certo, è possibile che prima abbia fatto qualche errore di calcolo.
@Shika: il gradiente serve a determinare i punti stazionari. Per vedere se essi sono anche estremi non basta: devi usare l'hessiana.
Si, d'accordo, se sono estremi liberi.
In questo caso sono vincolati, quindi niente hessiana...
In questo caso sono vincolati, quindi niente hessiana...
Shika.... sono vincolati sul bordo dell'ellisse. All'interno, non lo sono (o almeno non in senso stretto). Devi vedere se dentro l'ellisse ci sono punti stazionari e verificare di che natura essi siano. Ma secondo te perdevo tutto sto tempo se fosse stata una cosa superflua????
Ho capito. Quindi oltre al vincolo, devo risolverlo come sempre con gradiente ed hessiana? Questo mi da il massimo/minimo assoluto sul vincolo e relativo all'interno?
"Shika93":
Trovare massimo e minimo assoluti di $f(x,y)=2x^2+y^2-y$ in $E={(x,y)\inR^3:x^2+(y^2)/9<=1}$
Mi è venuto un flash su questo esercizio.
Visto che il vincolo è un ellisse, posso prendere i suoi estremi e calcolare $f(x_o,y_o)$ usando i punti degli estremi per la frontiera?
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