Massima estensione di un funzionale

[Ulyx3s]

Dopo aver costruito $H^(1,2)$ e aver esteso il funzionale integrale di Dirichlet a tutto lo spazio (anche sulle derivate deboli) con
$D(u)= int_0^1|u'|^2 dx$
il libro afferma:
"Dato che in uno spazio di Hilbert, quale appunto$H^(1,2)$ gli insiemi debolmente chiusi sequenzialmente coincidono con gli insiemi debolmente chiusi e gli insiemi convessi debolmente chiusi coincidono con gli insiemi fortemente chiusi allora deduciamo che D(u) è la massima estensione semicontinua inferiormente dell integrale di Dirichlet"

Potreste spiegarmi questo passaggio? per caso estendere l' integrale di Dirichlet alle derivate deboli equivale a compiere un rilassamento?

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UP

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se non sbaglio l' estensione del funzionale significa che sia definito per un "numero sufficiente" di funzioni, quindi la completezza di uno spazio di Hilbert porterebbe a questa proprietà, ma non mi è ben chiaro come...