Maratona di problemi di analisi

[Chevtchenko]

Faccio mia la benemerita idea di Tom Sawyer e propongo anche in questa sezione del forum una maratona di problemi. Daremo pero' la preferenza ad argomenti di analisi (in particolar modo analisi funzionale e teoria della misura) e di topologia.

Comincio io con un semplice quesito: Dimostrare che il teorema di Egorov conserva la sua validita' se invece di richiedere che lo spazio abbia misura finita si chiede che la successione di funzioni sia limitata da una funzione integrabile.

[Chevtchenko]

Pare che la mia iniziativa non abbia avuto molto successo...

[fu^2]

penso che se parti da qualcosa di più easy forse ci sarà un pò di vita

[wedge]

già, mi sa di si

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Quoto.

Per dire, io non so cosa sia il teorema di Egorov e non so praticamente niente di analisi funzionale

Ciao

[Chevtchenko]

Va bene, ma gli analisti in questo forum non mancano...

[Chevtchenko]

Comunque, cambiamo problema...

Dato uno spazio di Banach riflessivo e separabile $X$, dire se $X^\star$ e' separabile o no.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ok dunque,

in attesa che qualcuno preparato risponda adeguatamente...

cosa significa riflessivo?
Cosa è $X^\star$?

[elgiovo]

"Sandokan.":
Dato uno spazio di Banach riflessivo e separabile $X$, dire se $X^\star$ e' separabile o no.

Se $X$ è riflessivo e separabile, allora $X^(star star)=J(X)$ è riflessivo e separabile.
(con $J(X)$ si intende l'iniezione canonica $J:X to X^(star star)$ tale per cui $langle Jx,f rangle_(X^(star star), X^(star))=langle f, x rangle_(X^(star),X)$, $forall x in X, forall f in X^(star)$).
Dunque $X^(star)$ è riflessivo e separabile.

[Chevtchenko]

Très bien! A te allora, se vuoi, spetta proporre il prossimo esercizio!

[elgiovo]

david_e, la tua prova mi sembrava corretta, postala di nuovo!
Nel frattempo: sia $A$ un rettangolo compatto in $RR^n$. Si trovi una funzione
$phi in C_0^oo$ positiva all'interno di $A$ e nulla altrove.

[Chevtchenko]

Con $C_0^oo$ intendi le funzioni infinite volte differenziabili?

[elgiovo]

Si, a supporto compatto.

[david_e1]

"elgiovo":david_e, la tua prova mi sembrava corretta, postala di nuovo!
Nel frattempo: sia $A$ un rettangolo compatto in $RR^n$. Si trovi una funzione
$phi in C_0^oo$ positiva all'interno di $A$ e nulla altrove.

No l'ho cancellata perche' era completamente cannata. Ho trovato un insieme su cui si ha convergenza uniforme e il cui complementare ha misura piccola a piacere, ma rispetto alla misura sbagliata!

Me ne sono accorto dopo averla scritta... supposto $g>0$ ed $f=0$ (basta mostrare il teorema su questi) credo che sia necessario lavorare restringendosi all'insieme:

$ A_\phi = \{ x \in \Omega | g > \phi \} $

e poi usare Egoroff li (notare che sul complementare ho una stima uniforme di $f_n$), smanettare con $\epsilon,\phi$ e $n$ scimmiottando la dimostrazione originale di Egoroff per concludere. Ma, ora come ora, non ho la forza mentale necessaria...

[amel3]

"elgiovo":
Nel frattempo: sia $A$ un rettangolo compatto in $RR^n$. Si trovi una funzione
$phi in C_0^oo$ positiva all'interno di $A$ e nulla altrove.

Posso provare a buttarmi?
A me intuitivamente verrebbe da dire:
Sia $A=[a_1,b_1]x...x[a_n, b_n]$.

$f(x)=exp(- prod_{i=1}^{n} 1/((x_i - a_i)(x_i - b_i)))$ per $x=(x_1,...,x_n) in i n t(A)$.
$f(x)=0$ altrove.

Ma mi sa che è un'idiozia...

[ficus2002]

"Sandokan.":Dimostrare che il teorema di Egorov conserva la sua validita' se invece di richiedere che lo spazio abbia misura finita si chiede che la successione di funzioni sia limitata da una funzione integrabile.

Sia $E$ misurabile e sia $f_j:E\to RR$ una successione di funzioni convergente q.o ad $f$. Per ipotesi $|f_j|\le g$ con $g\in cc L^1$.
Siano $\alpha,\epsilon>0$ arbitrati fissati. Mostriamo che esiste $E_\alpha\subseteq E$ con $|E_alpha|<\alpha$ t.c. $\text{sup}_{E\setminus E_\alpha} |f_j-f|< \epsilon$ per $j>N(\alpha,\epsilon)$.

Cominciamo ad osservare che $|f|\le g$ q.o., così si ha $|f_j-f|\le 2g\in cc L^1$.

Decomponiamo $E$:
$E_1:={x\in E:|f_j(x)-f(x)|\le \epsilon/2, \forall j\in NN}$
$E_2:=E\setminus E_1$
Allora $E_2\subseteq {x\in E: 2g>\epsilon/2}$ così, per la disuguaglianza di Chebichev, è $|E_2|\le 4/\epsilon ||g||
Per il Teorema di Egorov, esiste $E_\alpha\subseteq E_2$, $|E_alpha|<\alpha$ t.c. $\text{sup}_{E_2\setminus E_\alpha} |f_j-f|<\epsilon/2$ per $j>N(\alpha,\epsilon)$. Così
$\text{sup}_{E\setminus E_\alpha} |f_j-f|\leq \text{sup}_{E1}|f_j-f| + text{sup}_{E_2\setminus E_\alpha} |f_j-f|<\epsilon$ per $j>N(\alpha,\epsilon)$.

[elgiovo]

"amel":[quote="elgiovo"]
Nel frattempo: sia $A$ un rettangolo compatto in $RR^n$. Si trovi una funzione
$phi in C_0^oo$ positiva all'interno di $A$ e nulla altrove.

Posso provare a buttarmi?
A me intuitivamente verrebbe da dire:
Sia $A=[a_1,b_1]x...x[a_n, b_n]$.

$f(x)=exp(prod_{i=1}^{n} 1/((x_i - a_i)(x_i - b_i)))$ per $x=(x_1,...,x_n) in i n t(A)$.
$f(x)=0$ altrove.

Ma mi sa che è un'idiozia... [/quote]

Direi che ci sei. Si può però fare di meglio, evitando che la funzione assuma il valore $+oo$ per $x_i=a_i$.
Consiglio di sfruttare una funzione $f in C_0^oo: RR to [0,1]$.

[amel3]

Sì che poi in realtà avevo pure dimenticato di scrivere un meno, buonanotte...

C'è Vasco che mi sta rintronando le orecchie...

[elgiovo]

"amel":Sì che poi in realtà avevo pure dimenticato di scrivere un meno, buonanotte...

C'è Vasco che mi sta rintronando le orecchie...

Ok, ora ci siamo. Io avevo considerato invece la funzione $f(x)={(mbox(exp)(-1/x^2) mbox(, se ) x>0),(0 mbox(, se ) x<=0):}$.
Se $A=[0,1]$ la funzione desiderata è $phi(x)=f(x)f(1-x)$. Se $A=[a_1,b_1] times ldots times [a_n, b_n]$ allora
$phi_A(vecx)=prod_(i=1)^n phi((x_i-a_i)/(b_i-a_i))=phi((x_1-a_1)/(b_1-a_1)) ldots phi((x_n-a_n)/(b_n-a_n))$.

[Chevtchenko]

"ficus2002":Allora $E_2\subseteq {x\in E: 2g>\epsilon/2}$ così, per la disuguaglianza di Chebichev, è $|E_2|\le 4/\epsilon ||g||

Scusami, non dovrebbe essere $|E_2|\le 4/\epsilon ||g||_2^2$, con la norma $L^2$?

[ficus2002]

"Sandokan.":Scusami, non dovrebbe essere $|E_2|\le 4/\epsilon ||g||_2^2$, con la norma $L^2$?

C'è un analogo per $g\in cc L^1(E)$:
$||g||_1 = \int _E |g| dx \ge \int _{|g|>\epsilon /4} |g| dx \ge \epsilon /4 |{x\in E : |g|> \epsilon /4}| \ge \epsilon/4 |E_2|$.