Mappa esponenziale non suriettiva

[nato_pigro1]

Come dimostro questa cosa?

"The image of the exponential map of the connected but non-compact group $SL(2,RR)$ is not the whole group."

preso da http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_map

[rbtqwt]

Supponiamo $A \in M(2,\mathbb R)$ con $\mbox{Tr} A = 0$. Dal teorema di Cayley-Hamilton si ha $A^2 = -I \det A$. Da questa relazione si ottiene
[tex]e^A = \begin{cases} \cos \sqrt{\det A} I + \frac{\sin \sqrt{\det A}}{\sqrt{\det A}} A & \mbox{se } \det A \ne 0 \\ I +A & \mbox{se } \det A = 0 \end{cases}[/tex]
In ogni caso, $\mbox{Tr}(e^A) \geq -2$. E' quindi sufficente prendere $B \in SL(2,\mathbb R)$ con $\mbox{Tr} B < -2$.