Mancato riconoscimento di un limite di Taylor
Salve ragazzi, mi sto preparando per l'esame di Analisi Matematica 1 e ho diversi dubbi (di cui vi espongo solo questo, per ora 
).
Esercitandomi con le schede sui limiti di Taylor di "****" (i vostri rivali?
), mi sono imbattuto in questo:
\( \lim_{x\to0}\frac{cos^2(x)+x^2-1}{x^4} \) -- se volete ve lo linko: ".****.it/domande-a-risposte/view/1937-limite.html"
Ho cercato di svolgerlo senza guardare prima la soluzione data nel topic, e ho usato un procedimento diverso da quello dato come soluzione. In sostanza, invece che sostituire \( 1= cos^2(x)+sen^2(x) \) ho svolto così:
\( \lim_{x\to0}\frac{-(cos(x)-1)(cos(x)+1)-x^2}{-x^4} = \lim_{x\to0}\frac{x^2[\frac{-cos(x)+1}{x^2}*\frac{-cos(x)-1}{x^2}]-1}{-x^4} \)
A questo punto, invece di aver bisogno di utilizzare il limite notevole del seno (come da soluzione), ho avuto necessità di usare quello del coseno: \( \lim_{x\to0}\frac{1-cos(f(x))}{f^2(x)} = \frac{1}{2} \)
Utilizzo il confronto asintotico \( 1-cos(x)\sim\frac{1}{2}x^2 \) , consapevole del fatto che il suo risultato si sarebbe annullato (e ciò mi avrebbe legittimato ad usare Taylor).
Ma il risultato non si annulla, ergo non avrebbe senso usare Taylor su questa funzione, poichè non è vero che il termine primo non nullo della sua serie si annulla.
Finendo di svolgere i calcoli il risultato viene, ovviamente, errato: \( \infty \) ; quello giusto sarebbe: \( \frac{1}{3} \) .
Ora veniamo alla domanda: posto che già conosco la soluzione del limite, poichè è stata svolta nell'altro forum, mi chiedo:
Sono io che ho sbagliato tutto, oppure non esiste modo di risolvere questo limite se non annullando quello specifico termine primo non nullo (limite notevole)?
Se no, perchè il risultato è errato (usando un confronto asintotico diverso, che non si annulla, non dovrei aggirare il problema?)? Quali accorgimenti dovrei prendere in merito?
Se sì, come faccio ad essere sicuro di aver imboccato la strada giusta? Si può continuare a svolgere l'esercizio dal punto in cui mi sono fermato?
Mamma mia che mattone che vi ho scritto
, vi ringrazierei molto se mi aiutaste 
.
).Esercitandomi con le schede sui limiti di Taylor di "****" (i vostri rivali?
), mi sono imbattuto in questo:\( \lim_{x\to0}\frac{cos^2(x)+x^2-1}{x^4} \) -- se volete ve lo linko: ".****.it/domande-a-risposte/view/1937-limite.html"
Ho cercato di svolgerlo senza guardare prima la soluzione data nel topic, e ho usato un procedimento diverso da quello dato come soluzione. In sostanza, invece che sostituire \( 1= cos^2(x)+sen^2(x) \) ho svolto così:
\( \lim_{x\to0}\frac{-(cos(x)-1)(cos(x)+1)-x^2}{-x^4} = \lim_{x\to0}\frac{x^2[\frac{-cos(x)+1}{x^2}*\frac{-cos(x)-1}{x^2}]-1}{-x^4} \)
A questo punto, invece di aver bisogno di utilizzare il limite notevole del seno (come da soluzione), ho avuto necessità di usare quello del coseno: \( \lim_{x\to0}\frac{1-cos(f(x))}{f^2(x)} = \frac{1}{2} \)
Utilizzo il confronto asintotico \( 1-cos(x)\sim\frac{1}{2}x^2 \) , consapevole del fatto che il suo risultato si sarebbe annullato (e ciò mi avrebbe legittimato ad usare Taylor).
Ma il risultato non si annulla, ergo non avrebbe senso usare Taylor su questa funzione, poichè non è vero che il termine primo non nullo della sua serie si annulla.
Finendo di svolgere i calcoli il risultato viene, ovviamente, errato: \( \infty \) ; quello giusto sarebbe: \( \frac{1}{3} \) .
Ora veniamo alla domanda: posto che già conosco la soluzione del limite, poichè è stata svolta nell'altro forum, mi chiedo:
Sono io che ho sbagliato tutto, oppure non esiste modo di risolvere questo limite se non annullando quello specifico termine primo non nullo (limite notevole)?
Se no, perchè il risultato è errato (usando un confronto asintotico diverso, che non si annulla, non dovrei aggirare il problema?)? Quali accorgimenti dovrei prendere in merito?
Se sì, come faccio ad essere sicuro di aver imboccato la strada giusta? Si può continuare a svolgere l'esercizio dal punto in cui mi sono fermato?
Mamma mia che mattone che vi ho scritto
, vi ringrazierei molto se mi aiutaste .
Risposte
quando hai una somma non puoi sostituire senza tener conto dell'errore
in questo caso se vuoi usare taylor devi arrivare fino al quarto grado:
$(cosx)^2=(1-1/2x^2+1/(24) x^4+o(x^5))^2$
in questo caso se vuoi usare taylor devi arrivare fino al quarto grado:
$(cosx)^2=(1-1/2x^2+1/(24) x^4+o(x^5))^2$
Innanzitutto, grazie della risposta 
.
Perchè hai preso solo il coseno e non anche il -1? il lim notevole il cui confronto asintotico si dovrebbe annullare è: \( \lim_{x\to0}\frac{1-cos(f(x))}{f^2(x)} = \frac{1}{2} \).
É proprio per portarmi la funzione a \( 1-cos(x) \) che l'ho divisa in due parti con il prodotto notevole.
Inoltre, se non disturbo troppo, vorrei una risposta "a testo" delle domande che ho posto alla fine, anche se generica. Questo genere di intoppo mi capita spesso e vorrei capire il meccanismo piuttosto che trovare uno svoglimento già fatto.
Grazie ancora
.Perchè hai preso solo il coseno e non anche il -1? il lim notevole il cui confronto asintotico si dovrebbe annullare è: \( \lim_{x\to0}\frac{1-cos(f(x))}{f^2(x)} = \frac{1}{2} \).
É proprio per portarmi la funzione a \( 1-cos(x) \) che l'ho divisa in due parti con il prodotto notevole.
Inoltre, se non disturbo troppo, vorrei una risposta "a testo" delle domande che ho posto alla fine, anche se generica. Questo genere di intoppo mi capita spesso e vorrei capire il meccanismo piuttosto che trovare uno svoglimento già fatto.
Grazie ancora
Uhm! $limx^2×(((-(1-cosx))/x^2)(1+cosx)+1)/x^4$ $=((-1/2)×(+2)+1)/0=0/0$, e come ben vedi il tuo svolgimento
non e' sufficiente ad eliminare la forma indeterminata, inoltre nella tua espressione a numeratore hai diviso per $x^2$ in modo errato.
non e' sufficiente ad eliminare la forma indeterminata, inoltre nella tua espressione a numeratore hai diviso per $x^2$ in modo errato.
Ooops non mi ero accorto dell'errore! 
. Ora rimedio...
. Ora rimedio...
"francicko":
Uhm! $ limx^2×(((-cosx+1)/x^2)(-cosx-1)-1)/x^4 $ $ =((-1/2)×(-2)-1)/0=0/0 $, e come ben vedi il tuo svolgimento
non e' sufficiente ad eliminare la forma indeterminata, inoltre nella tua espressione a numeratore hai diviso per $ x^2 $ in modo errato.
Correggendo la svista barbina indicatami da te, ottengo sempre risultato \( \infty \) .
Nella risoluzione, il limite notevole \( lim_{x\to0}{\frac{-cos(x)+1}{x^2}}= \frac{1}{2} \) e non \( -\frac{1}{2} \) , quindi non c'è forma indeterminata, ma il risultato resta scorretto.
Anche volendo applicare il polinomio di Taylor, a che cosa farlo, in un caso come questo? Se non l'avessi trovato scritto sulla traccia dell'esercizio non l'avrei sicuramente usato, e ciò è strano
...
Prova a dare un occhiata al post che ho scritto in precedenza, l'ho modificato e adesso mi sembra che e' corretto;
Quindi con il procedimento da te proposto continua a risultare una forma indeterminata $0/0$, conviene per arrivare alla soluzione utilizzare Hopital o Taylor.
Quindi con il procedimento da te proposto continua a risultare una forma indeterminata $0/0$, conviene per arrivare alla soluzione utilizzare Hopital o Taylor.
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