Maledetto integrale
Ho perso un pomeriggio per risolvere questo maledetto integrale e mi sono solo avvicinato alla soluzione. Il maledetto integrale è il seguente:
$ int_1^2 1/(xsqrt(2x+1))*dx $
effettuo il cambiamento di variabile:
$ t=2x+1; dx=1/2dt $ quindi: $ int 1/((t-1)sqrtt)*dt $.
Posto $ y=sqrtt $ quindi $ y^2=t $ e $ dt= 2y*dy $ ottengo: $ int 2/(y^2-1)*dy $. Ricordando che $ int (f'(y))/f(y)*dy=log|f(y)|+c $ si ha:
$ log|y^2-1|+c $ quindi $ log[(|y+1|)(|y-1|)] $ che per le proprietà del logaritmo posso scrivere come $ log|y+1|+log|y-1| $ sostituendo $ y=sqrtt $ : $ log|sqrtt+1|+log|sqrtt-1|+c $ di conseguenza sostituendo $ t=2x+1 $ e passando all'integrale definito ottengo:
$ [log|sqrt(2x+1)+1|+log|sqrt(2x+1)-1|]_1^2 $ sostituendo alla x i valori dati e svolgendo i calcoli ottengo:
$ log(sqrt5+1)+log(sqrt5-1)-log(sqrt3+1)-log(sqrt3-1) $ che per la proprietà dei logaritmi posso scrivere come:
$ log(((sqrt5+1)(sqrt5-1))/((sqrt3+1)(sqrt3-1))) $
ma il risultato deve essere $ [log|1-sqrt(2x+1)|-log|1+sqrt(2x+1)|]_1^2 = log(((sqrt5-1)(sqrt3+1))/((sqrt5+1)(sqrt3-1))) $
$ int_1^2 1/(xsqrt(2x+1))*dx $
effettuo il cambiamento di variabile:
$ t=2x+1; dx=1/2dt $ quindi: $ int 1/((t-1)sqrtt)*dt $.
Posto $ y=sqrtt $ quindi $ y^2=t $ e $ dt= 2y*dy $ ottengo: $ int 2/(y^2-1)*dy $. Ricordando che $ int (f'(y))/f(y)*dy=log|f(y)|+c $ si ha:
$ log|y^2-1|+c $ quindi $ log[(|y+1|)(|y-1|)] $ che per le proprietà del logaritmo posso scrivere come $ log|y+1|+log|y-1| $ sostituendo $ y=sqrtt $ : $ log|sqrtt+1|+log|sqrtt-1|+c $ di conseguenza sostituendo $ t=2x+1 $ e passando all'integrale definito ottengo:
$ [log|sqrt(2x+1)+1|+log|sqrt(2x+1)-1|]_1^2 $ sostituendo alla x i valori dati e svolgendo i calcoli ottengo:
$ log(sqrt5+1)+log(sqrt5-1)-log(sqrt3+1)-log(sqrt3-1) $ che per la proprietà dei logaritmi posso scrivere come:
$ log(((sqrt5+1)(sqrt5-1))/((sqrt3+1)(sqrt3-1))) $
ma il risultato deve essere $ [log|1-sqrt(2x+1)|-log|1+sqrt(2x+1)|]_1^2 = log(((sqrt5-1)(sqrt3+1))/((sqrt5+1)(sqrt3-1))) $
Risposte
"raffaele.russo2":
Ho perso un pomeriggio per risolvere questo maledetto integrale e mi sono solo avvicinato alla soluzione. Il maledetto integrale è il seguente:
$ int_1^2 1/(xsqrt(2x+1))*dx $
effettuo il cambiamento di variabile:
$ t=2x+1; dx=1/2dt $ quindi: $ int 1/((t-1)sqrtt)*dt $.
Posto $ y=sqrtt $ quindi $ y^2=t $ e $ dt= 2y*dy $ ottengo: $ int 2/(y^2-1)*dy $.
a questo punto devi notare che la derivata del denominatore è $2y$ e non $2$. dovresti procedere per fratti semplici.
Ricordando che $ int (f'(y))/f(y)*dy=log|f(y)|+c $ si ha:
$ log|y^2-1|+c $ quindi $ log[(|y+1|)(|y-1|)] $ che per le proprietà del logaritmo posso scrivere come $ log|y+1|+log|y-1| $ sostituendo $ y=sqrtt $ : $ log|sqrtt+1|+log|sqrtt-1|+c $ di conseguenza sostituendo $ t=2x+1 $ e passando all'integrale definito ottengo:
$ [log|sqrt(2x+1)+1|+log|sqrt(2x+1)-1|]_1^2 $ sostituendo alla x i valori dati e svolgendo i calcoli ottengo:
$ log(sqrt5+1)+log(sqrt5-1)-log(sqrt3+1)-log(sqrt3-1) $ che per la proprietà dei logaritmi posso scrivere come:
$ log(((sqrt5+1)(sqrt5-1))/((sqrt3+1)(sqrt3-1))) $
ma il risultato deve essere $ [log|1-sqrt(2x+1)|-log|1+sqrt(2x+1)|]_1^2 = log(((sqrt5-1)(sqrt3+1))/((sqrt5+1)(sqrt3-1))) $
hai mancato un 2 al numeratore quì: $ int 1/((t-1)sqrtt)*dt $.
quì invece hai fatto un errore molto grave:$ int 2/(y^2-1)*dy $, perchè tra le 2 quantità non c'è il rapporto $ int (f'(y))/f(y)*dy$, in quanto al numeratore manca una y.
questo si fa come integrale di funzione razionale con radici reali distinte, che dovresti saper fare, e poi sostituire "all'indietro" fino a x.
invece, se vuoi evitare di risostituire, dovresti guardare come "variano" gli estremi di integrazione per ogni sostituzione, che è più semplice del risostituire
quì invece hai fatto un errore molto grave:$ int 2/(y^2-1)*dy $, perchè tra le 2 quantità non c'è il rapporto $ int (f'(y))/f(y)*dy$, in quanto al numeratore manca una y.
questo si fa come integrale di funzione razionale con radici reali distinte, che dovresti saper fare, e poi sostituire "all'indietro" fino a x.
invece, se vuoi evitare di risostituire, dovresti guardare come "variano" gli estremi di integrazione per ogni sostituzione, che è più semplice del risostituire
"guybrush1989":
hai mancato un 2 al numeratore quì: $ int 1/((t-1)sqrtt)*dt $.
Non l'ho dimenticato ma l'ho semplificato in quanto sostituendo si ottiene: $ int 2/((t-1)sqrtt)*1/2dt $ e quindi $ 2*1/2=1 $
guybrush1989 e ancora una volta adaBTTLS vi ringrazio , sono riuscito a risolverlo !!
prego!
de nada 
forse si poteva far prima sostituendo così:$2x+1=t^2$
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