Maggiornte funzione in A

[Knuckles1]

trovare se esiste un maggiorante in A di f(x,y):
$A={(x,y)\inRR: x^2+2y^2=1}$

come devo procedere? il maggiorante di f in a significa trovare un'area più grande?

nel senso $\int\int_A (f(x,y) dxdy)<=M$ dove M è il magiorante da cercare?

[dissonance]

Ma $f(x, y)$ chi è?

[Knuckles1]

$x^2+4xy+2y^2+x-3y+1$

[Luca.Lussardi]

Non c'entrano nulla gli integrali... basta trovare un valore $M \in \RR$ tale per cui $f(x,y) \le M$ per ogni $(x,y) \in A$.

[Knuckles1]

potrei usare i moltiplicatori di lagrange? il mio vincolo è l'ellisse, e quando trovo il valore massimo quello è il maggiorante?

[Luca.Lussardi]

Sì.

[gugo82]

Visto che ti si chiede di determinare solo l'esistenza di un maggiorante, potresi anche venirne fuori applicando semplicemente il teorema di Weierstrass, non trovi?

[Knuckles1]

dicendo che siccome f è limitata inferiormente ed è sempre crescente, e l'insieme A è chiuso esiste certamente un maggiorante appartenente ad A?

[dissonance]

Scusa Knuckles, il teorema di Weierstrass che dice? Al paese mio, "una funzione reale continua in un compatto ammette massimo e minimo". E' anche molto più semplice di quello che stai pensando di usare tu, inoltre ha il raro pregio di avere senso. Cosa significa dire di una funzione definita su una ellisse, quale è la tua $A$, che è "sempre crescente"?

[Knuckles1]

no io ho detto che f è limitata solo inferiormente e che quindi se io considero l'ellisse A c'è sicuramente un massimo... esattamente come se io ho una funzione continua in R che non ha max assoluti, se considero un intervallo I li avrò sicuramente un max globale in I, allo stesso modo in due variabili considero A... non è la stessa cosa?

[dissonance]

"Knuckles":no io ho detto che f è limitata solo inferiormente e che quindi se io considero l'ellisse A c'è sicuramente un massimo...

Prima contraddizione in termini. Se una funzione è limitata solo inferiormente vuol dire che non è limitata superiormente, quindi come puoi parlare di massimo?

esattamente come se io ho una funzione continua in R che non ha max assoluti, se considero un intervallo I li avrò sicuramente un max globale in I

Seconda contraddizione in termini. In questa frase la funzione prima non ha massimo, poi lo acquista su un non meglio identificato "intervallo $I$", che per come hai scritto potrebbe pure essere tutto $RR$.

Forse ho capito cosa vuoi dire, ma ti stai esprimendo male e ti consiglio di stare attento: un professore di matematica, davanti ad affermazioni come queste che ho riportato, può tranquillamente scegliere di non avere pazienza e farti passare un brutto quarto d'ora. Rifletti con più calma sulle cose, nello specifico sul Teorema di Weierstrass, prima di parlare.

Il teorema dice che una funzione continua in uno spazio compatto a valori reali assume massimo e minimo. Cosa significhi "spazio compatto" è un altro discorso, limitiamoci a dire che per sottoinsiemi di $RR^n$ "compatto" equivale a "chiuso e limitato" (prima ti sei mangiato il limitato). Gugo ti suggeriva che sei nelle condizioni di applicare questo teorema, che come vedi ti toglierebbe le castagne dal fuoco.

Naturalmente devi dimostrare di essere nelle ipotesi del teorema di Weierstrass, ovvero devi dimostrare che:
1) $A$ è chiuso e limitato;
2) $f$ è continua in $A$.

Dimostra queste due affermazioni e hai finito. Mi raccomando: rifletti bene prima di postare, non andare di fretta.

[gugo82]

"Knuckles":se io ho una funzione continua in R che non ha max assoluti, se considero un intervallo I li avrò sicuramente un max globale in I

Estremamene falso; direi da 18 in Analisi I.

Prendi [tex]$f(x):=x^2$[/tex] ed [tex]$I=[0,+\infty[$[/tex].

[dissonance]

"dissonance":un professore di matematica, davanti ad affermazioni come queste che ho riportato, può tranquillamente scegliere di non avere pazienza e farti passare un brutto quarto d'ora.

"Gugo82":Estremamene falso; direi da 18 in Analisi I.

Prendi [tex]$f(x):=x^2$[/tex] ed [tex]$I=[0,+\infty[$[/tex].

Ecco, appunto.

[Knuckles1]

ok... era un po impreciso... scusate, quello che volevo dire è che se ho ad esempio $f(x)=x^2$ questa funzione è continua in tutto $RR$, e presenta un minimo globale per $x=0$, ma se prendo $I=[-1,1]$ che è un intervallo chiuso ho due max globali di f in I per $x=+-1$...

quindi mi chiedevo,se per analogia, in due variabili posso dire che: $f(x,y)=x^2+4xy+2y^2+x-3y+1$ continua e definita su tutto $RR^2$, A è un insieme chiuso perchè contiene la sua frontiera, e limitato, allora per W. esiste un max...

[dissonance]

Ma perché non provi a seguire la traccia di ragionamento che dicevo prima? Lascia perdere questa presunta analogia con $x^2$, credimi se ti dico che non ti porterà da nessuna parte. Ti avevo lasciato due punti da dimostrare sopra, 1) e 2).

A è un insieme chiuso perchè contiene la sua frontiera, e limitato

Questa sarebbe la tua dimostrazione del punto 1), [size=75]in realtà qui non hai fatto altro che riscrivere la tesi, ti si potrebbe chiedere:
"perché $A$ contiene la propria frontiera?"
"perché $A$ è limitato?"[/size]
Ma ammettiamo pure, per evidenza geometrica, che $A$ è chiuso e limitato quindi compatto. Per poter applicare Weierstrass dobbiamo mostrare che $f$ è continua in $A$. Questo è sicuramente vero, ma perché?

[Knuckles1]

siccome f è definita in $I sube RR^2$, se prendo un punto $x_o\inI$ esiste un intorno circolare di x contenuto in I, cioè x è interno ad I e quindi I è chiuso(più di cosi il prof non ci ha detto, non abbiamo fatto dimostrazioni...)

per limitato ci ha detto che un insieme si dice limitato se è contenuto in un intorno circolare dell'origine $I_M(0)$, cioè se esiste $M>0$ t.c. $|x|
f è continua perchè $lim_((x,y)->(x_o,y_o)) f(x,y)=f(x_o,y_o)$ in ogni punto...

[dissonance]

"Knuckles":siccome f è definita in $I sube RR^2$, se prendo un punto $x_o\inI$ esiste un intorno circolare di x contenuto in I, cioè x è interno ad I e quindi I è chiuso(più di cosi il prof non ci ha detto, non abbiamo fatto dimostrazioni...)

Questa è proprio la definizione di... insieme aperto. Un insieme chiuso è quello che ha il complementare aperto.

per limitato ci ha detto che un insieme si dice limitato se è contenuto in un intorno circolare dell'origine $I_M(0)$, cioè se esiste $M>0$ t.c. per ogni $x\in A$ risulta $|x| Non ti stai esprimendo benissimo, senza l'aggiunta mia in rosso la tua frase non significava nulla. Comunque ci sei quasi. Vabbé, completo io: $A$ è una ellisse il cui diametro maggiore è $2$. Quindi essa è interamente contenuta nel cerchio di raggio $3$ (per dirne una; andrebbe bene un qualunque cerchio di raggio $>2$).

Comunque, lasciamo perdere la topologia. Ti basti sapere che le curve algebriche, intese come gli insiemi di $RR^2$ descritti da equazioni algebriche, sono sempre chiusi. Per sapere se sono compatti è sufficiente che tu verifichi se sono limitati, e per questo devi disegnarli.

Molto più importante, per le applicazioni, è il punto successivo:

f è continua perchè $lim_((x,y)->(x_o,y_o)) f(x,y)=f(x_o,y_o)$ in ogni punto...

Ok, mi hai riscritto la definizione di funzione continua. Sei in grado di dimostrare quanto dici?

P.S.: Ho capito che hai un esame a breve e quindi non hai tempo materiale di (ri)vedere bene la teoria, e ti stai limitando a risolvere quanti più esercizi possibile. Non trovo che sia un buon approccio allo studio ma queste sono scelte tue; ti consiglio, però, di dare un'occhiata ad un libro, magari quando avrai un po' di tempo in più. A me piaceva un libretto della Liguori, Elementi di analisi matematica 1 di Marcellini e Sbordone. Piccolo, orientato alle lauree triennali, ma nonostante questo piuttosto completo. Probabilmente avranno fatto anche il 2.

[Knuckles1]

si ho proprio quel libro...Analisi I, II + 4 volumi di esercizi... però scusa... al di là della teoria, io per vedere se una funzione è continua guardo il dominio, dove è definita è continua, e negli altri punti, se mi serve guardo se poso prolungare per continuità... tutto li, il mio problema era trovare un maggiorante, che abbiamo capito che c'è... e per trovarlo devo usare i moltiplicatori di lagrange... credo

[dissonance]

"Knuckles":si ho proprio quel libro...Analisi I, II + 4 volumi di esercizi... però scusa... al di là della teoria, io per vedere se una funzione è continua guardo il dominio, dove è definita è continua,

Ma non è così. Prendi questa funzione:
[asvg]xmin=-5; xmax=5; axes(); xmin=-5; xmax=0; plot("-1"); xmin=0; xmax=5; plot("1"); fill="black"; circle([0, 0], 0.1);[/asvg]
Per essere definita ovunque, è definita ovunque: ma non mi pare proprio continua. Il ragionamento che fai tu va bene quando la funzione in questione è ottenuta componendo funzioni continue (il che include le somme e i prodotti di funzioni continue). E' il caso della funzione $f$ del nostro esercizio. Questo lo devi specificare, come dici tu è proprio errato.

il mio problema era trovare un maggiorante, che abbiamo capito che c'è... e per trovarlo devo usare i moltiplicatori di lagrange

Giusto.

[Knuckles1]

ok studierò e grazie per la pazienza