Maggiorazione di un limite in coordinate polari
ciao,
sono alle prese con il seguente limite in 2 variabili trasformato in coordinate polari:
$ lim_(r->0)|3r^3cos^3(\theta) - r^2cos^2(\theta)| / |r^4cos^2(\theta)sin^2(\theta)| $
la tecnica di risoluzione prevede una serie di maggiorazioni per cercare di ottenere un limite che dipenda solo da r, definito sempre positivo.
Di questo limite ho lo svolgimento, ma c'é un passaggio che mi lascia perplesso perché secondo me non si può fare, questo passaggio è che il limite di cui sopra viene posto < = al limite seguente:
$ lim_(r->0)(|3r^3cos^3(\theta)| - |r^2cos^2(\theta)| )/ |r^4cos^2(\theta)sin^2(\theta)| $
In sostanza viene spezzato il modulo al numeratore in due parti. Ma a me non risulta essere un passaggio valido.
Per la disuguaglianza triangolare si può spezzare un modulo di una somma nella somma di due moduli, ma non una differenza.
Qualcuno riesce a giustificare un passaggio del genere?
ciao ciao
sono alle prese con il seguente limite in 2 variabili trasformato in coordinate polari:
$ lim_(r->0)|3r^3cos^3(\theta) - r^2cos^2(\theta)| / |r^4cos^2(\theta)sin^2(\theta)| $
la tecnica di risoluzione prevede una serie di maggiorazioni per cercare di ottenere un limite che dipenda solo da r, definito sempre positivo.
Di questo limite ho lo svolgimento, ma c'é un passaggio che mi lascia perplesso perché secondo me non si può fare, questo passaggio è che il limite di cui sopra viene posto < = al limite seguente:
$ lim_(r->0)(|3r^3cos^3(\theta)| - |r^2cos^2(\theta)| )/ |r^4cos^2(\theta)sin^2(\theta)| $
In sostanza viene spezzato il modulo al numeratore in due parti. Ma a me non risulta essere un passaggio valido.
Per la disuguaglianza triangolare si può spezzare un modulo di una somma nella somma di due moduli, ma non una differenza.
Qualcuno riesce a giustificare un passaggio del genere?
ciao ciao
Risposte
Ricordi la disuguaglianza $||x|-|y|| \leq |x-y|$?
ciao dan,
ma qui secondo me non la puoi applicare.
Tale disuguaglianza tornerebbe utile se tutti gli elementi fossero positivi, ma c'é la fregatura del coseno al cubo che può essere negativo (tra -1 e +1).
Faccio un esempio: la parte al cubo potrebbe valere -5, e la parte al quadrato +2.
Se faccio la differenza all'interno del modulo, ottengo | -5 - (+2)| = | -7| = 7
Se faccio la differenza dei moduli ottengo: | -5| - |+2| = 5 - 2 = 3
Quindi la maggiorazione risulterebbe falsa, perché non è vero che 7 <= 3.
Il passaggio continua a sembrarmi sbagliato.
sigh!
ma qui secondo me non la puoi applicare.
Tale disuguaglianza tornerebbe utile se tutti gli elementi fossero positivi, ma c'é la fregatura del coseno al cubo che può essere negativo (tra -1 e +1).
Faccio un esempio: la parte al cubo potrebbe valere -5, e la parte al quadrato +2.
Se faccio la differenza all'interno del modulo, ottengo | -5 - (+2)| = | -7| = 7
Se faccio la differenza dei moduli ottengo: | -5| - |+2| = 5 - 2 = 3
Quindi la maggiorazione risulterebbe falsa, perché non è vero che 7 <= 3.
Il passaggio continua a sembrarmi sbagliato.
sigh!
Scusa ho letto male il tuo primo post
Pensavo a questo:
$$\frac{|3r^3\cos^3\theta|-|r^2\cos^2 \theta|}{r^4\sin^2\theta\cos^2\theta} \leq \frac{|3r^3\cos^3\theta-r^2\cos^2 \theta|}{r^4\sin^2\theta\cos^2\theta}$$
Pensavo a questo:
$$\frac{|3r^3\cos^3\theta|-|r^2\cos^2 \theta|}{r^4\sin^2\theta\cos^2\theta} \leq \frac{|3r^3\cos^3\theta-r^2\cos^2 \theta|}{r^4\sin^2\theta\cos^2\theta}$$
Comunque a parte questo ma il limite iniziale è questo:
$$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}|\frac{3x^3-x^2}{x^2y^2}|$$?
$$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}|\frac{3x^3-x^2}{x^2y^2}|$$?
Si esatto, è quello
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