Maggiorare -sin(x)
Ciao a tutti,
dobbiamo maggiorare $-sin$ calcolato in $1/5$ per effettuare la stima del resto n-simo, di $cos(0.2)$ di centro 0 e ordine 4.
Quando applichiamo la formula del calcolo dell'errore, ovvero:
$(f^(n+1) (cx))/((n+1)!) * -(x-x_o)^(n+1)$
Maggiroando con $1$ il nostro $-sin()$ ci esce che il numero si trova tra $0.98..$ e $0.98+0.000002$ che ci sembra troppo piccola, forse errata.
Tra l'altro il dubbio era:
Maggioriamo $-sin()$ direttamente con $1$? maggioriamo $sin$ con $1$ e poi con il meno davanti abbiamo $-1$ ? o magari c'è una maggiorazione migliore?
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
dobbiamo maggiorare $-sin$ calcolato in $1/5$ per effettuare la stima del resto n-simo, di $cos(0.2)$ di centro 0 e ordine 4.
Quando applichiamo la formula del calcolo dell'errore, ovvero:
$(f^(n+1) (cx))/((n+1)!) * -(x-x_o)^(n+1)$
Maggiroando con $1$ il nostro $-sin()$ ci esce che il numero si trova tra $0.98..$ e $0.98+0.000002$ che ci sembra troppo piccola, forse errata.
Tra l'altro il dubbio era:
Maggioriamo $-sin()$ direttamente con $1$? maggioriamo $sin$ con $1$ e poi con il meno davanti abbiamo $-1$ ? o magari c'è una maggiorazione migliore?
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
Risposte
scusa ma la domanda qual'è ?? il tuo messaggio mi pare confuso e impreciso.
provo ad interpreare, ma vado a fantasia:
tu vuoi calcolare $cos(0.2)$ con un certo margine di errore che non ci dici.
allora usiamo Taylor (hai deciso fino al quarto ordine, ok) e sarà:
$cos(0.2)= 1 - (0.2)^2/2 + (0.2)^4/24 - sin(\xi) (0.2)^5/120$ con $\xi$ compresa fra $0$ e $0.2$
quindi dovrebbe essere chiaro qual'è il valore massimo di $sin(\xi)$ no?
provo ad interpreare, ma vado a fantasia:
tu vuoi calcolare $cos(0.2)$ con un certo margine di errore che non ci dici.
allora usiamo Taylor (hai deciso fino al quarto ordine, ok) e sarà:
$cos(0.2)= 1 - (0.2)^2/2 + (0.2)^4/24 - sin(\xi) (0.2)^5/120$ con $\xi$ compresa fra $0$ e $0.2$
quindi dovrebbe essere chiaro qual'è il valore massimo di $sin(\xi)$ no?
Il margine di errore non viene detto nemmeno dalla traccia, dice semplicemente arriva al quarto grado della serie di taylor e fermati.
Quindi per calcolare l'errore mi consigli di "aggiungere" un altro termine e moltiplicarlo per $sin(\espilon)$ ?
E questo come lo riconduci alla formula di sopra?
Quindi per calcolare l'errore mi consigli di "aggiungere" un altro termine e moltiplicarlo per $sin(\espilon)$ ?
E questo come lo riconduci alla formula di sopra?
Neptune è davvero difficile capire cosa dici.
io ho scritto soltanto la formula di Taylor del coseno con sviluppo in $0$, con il resto di Lagrnage.
non ho fatto nessun magheggio, è una elementare applicazione della teoria, che forse dovresti rivedere un po' meglio.
io ho scritto soltanto la formula di Taylor del coseno con sviluppo in $0$, con il resto di Lagrnage.
non ho fatto nessun magheggio, è una elementare applicazione della teoria, che forse dovresti rivedere un po' meglio.
Ma in quella formula per sapere un intervallo i cui sicuramente si troverà il numero da noi cercato basta calcolarci prima $-sin(0)$ e poi $-sin(0.2)$ e quello è l'intervallo?
ma certo che sì.
Daccordo ma qui insorge un'altro problema. Ovvero la traccia richiede esplicitamente l'intervallo al massimo arrotondato alle ultime tot cifre.
Nella formula da te data riappare $sin()$ che calcolato in $0$ è un valore noto, ma se me lo devo ricalcolare in $0.02$ che faccio? mi devo rifare tutto il procedimento? Insomma mi sembra una forma ricorsiva!
E difatti qui il problema credo che sia proprio $maggiorarsi$ quello $sin(0.02)$ in modo da poter dare comunque un valore approssimato.
Nella formula da te data riappare $sin()$ che calcolato in $0$ è un valore noto, ma se me lo devo ricalcolare in $0.02$ che faccio? mi devo rifare tutto il procedimento? Insomma mi sembra una forma ricorsiva!
E difatti qui il problema credo che sia proprio $maggiorarsi$ quello $sin(0.02)$ in modo da poter dare comunque un valore approssimato.
E difatti qui tornano anche i conti fatti da me, ovvero, se $sin(0.2)$ me lo maggioro con $1$ l'estremo più grande dell'intervallo mi esce proprio il valore detto in precedenza.
Domanda perchè $\epsilon$ varia da $0$ a $0.2$ ?
Daccordo $0.2$ è il nostro valore, ma $0$? cioè per qualsiasi numero che ci stiamo approssimando l'intervallo ce lo calcoliamo in $0$ e nel valore stesso?
Forse ho capito, rileggendolo è quando ci da $x$ ed $x0$ ovvero il valore in cui è calcolato è l'$x$, mentre quando dice di centro $0$ quello è l'$x0$ giusto?
Daccordo $0.2$ è il nostro valore, ma $0$? cioè per qualsiasi numero che ci stiamo approssimando l'intervallo ce lo calcoliamo in $0$ e nel valore stesso?
Forse ho capito, rileggendolo è quando ci da $x$ ed $x0$ ovvero il valore in cui è calcolato è l'$x$, mentre quando dice di centro $0$ quello è l'$x0$ giusto?
ciò che dici è proprio la teoria che sta alla base della formula di Tayolr, e uno dovrebbe averla chiara prima di fare gli esericizi.
comunque mi pare chiaro che stai capendo adesso: sì si maggiora il seno con $1$, o comunque con un valore noto, ad esempio con $sin (\pi/6)$ che si può ricavare geometricamente, o con quello che ti va bene insomma.
comunque mi pare chiaro che stai capendo adesso: sì si maggiora il seno con $1$, o comunque con un valore noto, ad esempio con $sin (\pi/6)$ che si può ricavare geometricamente, o con quello che ti va bene insomma.
Ho provato a fare un'altro esercizio per vedere se ho realmente capito.
L'esercizio mi dice di approssimarmi $log(1.2)$ con centro $x0=1$ e grado $n=3$
La serie del $log(1+x)$ è $\sum_{k=1}^N x^k/k$
Quindi calcolato in una variabile $t$, per il grado $3$, sarà $t - t^2/2 + t^3/3$
Ora se quello è il logaritmo di $1+x$ il logaritmo di $1.2$ basterà sostituire $0.2$ alla $x$? e quindi avremo:
$log(1.2) = 0.2 - (0.2)^2/2 + (0.2)^3/3$
Ora dobbiamo aggiungergli l'errore, la derivata quarta di logaritmo sarà $-6/x^4$, al posto di $x$ gli mettiamo $\epsilon$ e diciamo che la nostra approssimazione sarà:
$log(1.2) = 0.2 - (0.2)^2/2 + (0.2)^3/3 -6/\epsilon^4 * (0.2)^4/24$ con $\epsilon$ che varia da $1$ a $1.2$
Ora se cicalcoliamo l'epsilon in quei due valori abbiamo gli estremi degli intervalli.
Ho fatto bene?
L'esercizio mi dice di approssimarmi $log(1.2)$ con centro $x0=1$ e grado $n=3$
La serie del $log(1+x)$ è $\sum_{k=1}^N x^k/k$
Quindi calcolato in una variabile $t$, per il grado $3$, sarà $t - t^2/2 + t^3/3$
Ora se quello è il logaritmo di $1+x$ il logaritmo di $1.2$ basterà sostituire $0.2$ alla $x$? e quindi avremo:
$log(1.2) = 0.2 - (0.2)^2/2 + (0.2)^3/3$
Ora dobbiamo aggiungergli l'errore, la derivata quarta di logaritmo sarà $-6/x^4$, al posto di $x$ gli mettiamo $\epsilon$ e diciamo che la nostra approssimazione sarà:
$log(1.2) = 0.2 - (0.2)^2/2 + (0.2)^3/3 -6/\epsilon^4 * (0.2)^4/24$ con $\epsilon$ che varia da $1$ a $1.2$
Ora se cicalcoliamo l'epsilon in quei due valori abbiamo gli estremi degli intervalli.
Ho fatto bene?
"blackbishop13":
ciò che dici è proprio la teoria che sta alla base della formula di Tayolr, e uno dovrebbe averla chiara prima di fare gli esericizi.
comunque mi pare chiaro che stai capendo adesso: sì si maggiora il seno con $1$, o comunque con un valore noto, ad esempio con $sin (\pi/6)$ che si può ricavare geometricamente, o con quello che ti va bene insomma.
Ti ho riportato un'altro esercizio analogo svolto per capire se ho scritto bene.
Si mi scuso se alle volte magari "faccio spazientire", ma il punto è proprio che le sto studiando adesso, e ti sembrera strano il mio metodo di studio ma generalmente:
Prima do uno sguardo "veloce" alla teoria e poi mi metto ad approfondirla cercando di dare un senso pratico alle formule.
Il punto era proprio che la teoria mi era poco chiara, e cercavo appunto di chiarirmela dalle formule.
Purtroppo essendo stato un argomento di coda del mio corso di analisi TUTTO taylor, con le applicazioni sia per le risoluzioni dei limiti, sia per l'approssimazione dei numeri, è stato trattato in una sola lezione. Ed il libro di testo non ne parla manco a pagarlo. Quindi tutto quello che ho a disposizione sono delle slide e 2 ore di lezione. Avessi un bel librone che parla bene di tutto sarei molto più lieto di leggermelo che di dare fastidio qui sul forum
ovviamente non dai fastidio, nessuno mi obbliga a rispondere, se lo faccio è perchè mi fa piacere, così come a tutti gli altri. 
ho visto l'esercizio, e mi pare che vada bene, il principio è sempre lo stesso.
solo una questione di notazione: non scrivere mai lo sviluppo di Taylor tralasciando il resto, perchè se no scrivi uguaglianze false.
ma sono sottigliezze.
ho visto l'esercizio, e mi pare che vada bene, il principio è sempre lo stesso.
solo una questione di notazione: non scrivere mai lo sviluppo di Taylor tralasciando il resto, perchè se no scrivi uguaglianze false.
ma sono sottigliezze.
Perchè ho tralasciato il resto? e dove? non è quella li la formula?
Ho un dubbio, se mi devo maggiorare $e^x$, con $x$ che assume valori tra $0$ e $0.4$ come faccio?
Perchè in $0$ fa $1$, ma se $0.4$ me lo maggioro sempre con $1$ mi esce sempre lo stesso valore, e quindi non saprei come crearmi l'intervallo.
Perchè in $0$ fa $1$, ma se $0.4$ me lo maggioro sempre con $1$ mi esce sempre lo stesso valore, e quindi non saprei come crearmi l'intervallo.
il punto è che non devi mica maggiorare questo intervallo, non è $0,4$ il problema, è $e^(0,4)$ ti pare?
quindi se tu vuoi una stima dall'alto di $e$ cosa prenderai?
quindi se tu vuoi una stima dall'alto di $e$ cosa prenderai?
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