Maggiorare $cosh(x+iy)/cosh(2x+2iy)$
Buongiorno a tutti.Durante lo svolgimento di un integrale in cui viene usato il teorema dei residui,il professore ha eseguito questi passaggi che non mi sono chiari.O meglio non ho capito come ci si arriva.
Allora,devo maggiorare $cosh(x+iy)/cosh(2x+2iy)$.I passaggi su cui ho difficoltà sono i seguenti
Usando l'identità $|cosh(\alpha + i\beta)|^2=sinh^2\alpha+cos^2\beta$ si ottiene :
$|cosh(x+iy)/cosh(2x+2iy)|<=(sinhx+cosy)/(sinh2x)<=(sinhx+1)/(sinh2x)$
Ho provato a ragionare usando la diseguaglianza nota $|z_1+z_2|<=|z_1|+|z_2|$ ma non sono arrivato da nessuna parte.
Qualcuno mi può aiutare?
Grazie
Allora,devo maggiorare $cosh(x+iy)/cosh(2x+2iy)$.I passaggi su cui ho difficoltà sono i seguenti
Usando l'identità $|cosh(\alpha + i\beta)|^2=sinh^2\alpha+cos^2\beta$ si ottiene :
$|cosh(x+iy)/cosh(2x+2iy)|<=(sinhx+cosy)/(sinh2x)<=(sinhx+1)/(sinh2x)$
Ho provato a ragionare usando la diseguaglianza nota $|z_1+z_2|<=|z_1|+|z_2|$ ma non sono arrivato da nessuna parte.
Qualcuno mi può aiutare?
Grazie
Risposte
Praticamente, se \(z=x+\imath\ y\), hai:
\[
\begin{split}
\frac{|\cosh z|^2}{|\cosh 2z|^2} &= \frac{\cosh^2 x\ \cos^2 y +\sinh^2 x\ \sin^2 y}{\cosh^2 2x\ \cos^2 2y +\sinh^2 2x\ \sin^2 2y}\\
&= \frac{\sinh^2 x+\cos^2 y}{\sinh^2 2x+\cos^2 2y}\\
&\leq \frac{\sinh^2 x +1}{\sinh^2 2x}\\
&= \frac{\cosh^2 x}{4\ \sinh^2 x\ \cosh^2 x}
\end{split}
\]
perchè \(0\leq \cos^2 \alpha \leq 1\) e per la formula di duplicazione del \(\sinh\); quindi:
\[
\frac{|\cosh z|}{|\cosh 2z|} \leq \frac{1}{2\ |\sinh x|}
\]
per \(x\neq 0\) (ossia per \(z\) non immaginario puro).
Oppure, puoi trovare una maggiorazione un po' migliore usando gli esponenziali.
Infatti, sempre per \(z=x+\imath\ y\), hai:
\[
\begin{split}
\frac{|\cosh z|^2}{|\cosh 2z|^2} &= \frac{|e^z +e^{-z}|}{|e^{2z}+e^{-2z}|}\\
&= \frac{|e^{2z}+1|}{|e^z|\ |e^{4z}+1|}\\
&\leq \frac{1+|e^{2z}|}{|e^z|\ \Big| |e^{4z}| -1\Big|}\\
& = \frac{1+e^{2x}}{e^x\ | e^{4x} -1|}
\end{split}
\]
per la definizione del \(\cosh\), per la disuguaglianza triangolare e per la disuguaglianza triangolare inversa (nonché per l'uguaglianza \(|e^z|=e^x\)).
\[
\begin{split}
\frac{|\cosh z|^2}{|\cosh 2z|^2} &= \frac{\cosh^2 x\ \cos^2 y +\sinh^2 x\ \sin^2 y}{\cosh^2 2x\ \cos^2 2y +\sinh^2 2x\ \sin^2 2y}\\
&= \frac{\sinh^2 x+\cos^2 y}{\sinh^2 2x+\cos^2 2y}\\
&\leq \frac{\sinh^2 x +1}{\sinh^2 2x}\\
&= \frac{\cosh^2 x}{4\ \sinh^2 x\ \cosh^2 x}
\end{split}
\]
perchè \(0\leq \cos^2 \alpha \leq 1\) e per la formula di duplicazione del \(\sinh\); quindi:
\[
\frac{|\cosh z|}{|\cosh 2z|} \leq \frac{1}{2\ |\sinh x|}
\]
per \(x\neq 0\) (ossia per \(z\) non immaginario puro).
Oppure, puoi trovare una maggiorazione un po' migliore usando gli esponenziali.
Infatti, sempre per \(z=x+\imath\ y\), hai:
\[
\begin{split}
\frac{|\cosh z|^2}{|\cosh 2z|^2} &= \frac{|e^z +e^{-z}|}{|e^{2z}+e^{-2z}|}\\
&= \frac{|e^{2z}+1|}{|e^z|\ |e^{4z}+1|}\\
&\leq \frac{1+|e^{2z}|}{|e^z|\ \Big| |e^{4z}| -1\Big|}\\
& = \frac{1+e^{2x}}{e^x\ | e^{4x} -1|}
\end{split}
\]
per la definizione del \(\cosh\), per la disuguaglianza triangolare e per la disuguaglianza triangolare inversa (nonché per l'uguaglianza \(|e^z|=e^x\)).
Ciao gugo82 e grazie per la risposta.In quella con gli esponziali tutto chiaro tranne che per una cosa: ma nell'ultima uguaglianza non dovrebbe essere al numeratore $1+e^(2x)$ ?
In quella con le funzioni iperboliche ho ancora dubbi.
Fino a $(sinh^2x+cos^2y)/(sinh^2 2x+cos^2 2y)$ ci sono .
Non ho chiare due cose:
1. In $(sinh^2x+cos^2y)/(sinh^2 2x+cos^2 2y)<=(sinh^2x+1)/(sinh^2 2x)$
Ok il numeratore(si è maggiorato $cos^2 y <=1$.
Ma il denominatore da dove viene fuori? Si è minorato così $0<=cos^2 y$?
2.La diseguaglianza $(sinh^2x+cos^2y)/(sinh^2 2x+cos^2 2y)<=(sinh^2x+1)/(sinh^2 2x)$ a cui sei arrivato tu ( che già mi va bene), contiene i quadratri :come ci arrivo a $|cosh(x+iy)/cosh(2x+2iy)|<=(sinhx+cosy)/(sinh2x)<=(sinhx+1)/(sinh2x)$ senza quadrati?C'è qualcosa che mi sfugge...
Dalla diseguaglianza $|cosh(x+iy)/cosh(2x+2iy)|<=(sinhx+cosy)/(sinh2x)<=(sinhx+1)/(sinh2x)$ ,poi il professore la scrive sostitundo le espressioni di $sinh$ e $cosh$ e quindi ottenendo esponziali.
Dato che poi devo fare il limite per $x->\infty$ sicuramente utilizzerò direttamente gli esponziali,perchè è più immediato.
Però vorrei capire come ci si arriva,voglio "apprendere l'arte di osservare" (bella la tua firma!)
Grazie
In quella con le funzioni iperboliche ho ancora dubbi.
Fino a $(sinh^2x+cos^2y)/(sinh^2 2x+cos^2 2y)$ ci sono .
Non ho chiare due cose:
1. In $(sinh^2x+cos^2y)/(sinh^2 2x+cos^2 2y)<=(sinh^2x+1)/(sinh^2 2x)$
Ok il numeratore(si è maggiorato $cos^2 y <=1$.
Ma il denominatore da dove viene fuori? Si è minorato così $0<=cos^2 y$?
2.La diseguaglianza $(sinh^2x+cos^2y)/(sinh^2 2x+cos^2 2y)<=(sinh^2x+1)/(sinh^2 2x)$ a cui sei arrivato tu ( che già mi va bene), contiene i quadratri :come ci arrivo a $|cosh(x+iy)/cosh(2x+2iy)|<=(sinhx+cosy)/(sinh2x)<=(sinhx+1)/(sinh2x)$ senza quadrati?C'è qualcosa che mi sfugge...
Dalla diseguaglianza $|cosh(x+iy)/cosh(2x+2iy)|<=(sinhx+cosy)/(sinh2x)<=(sinhx+1)/(sinh2x)$ ,poi il professore la scrive sostitundo le espressioni di $sinh$ e $cosh$ e quindi ottenendo esponziali.
Dato che poi devo fare il limite per $x->\infty$ sicuramente utilizzerò direttamente gli esponziali,perchè è più immediato.
Però vorrei capire come ci si arriva,voglio "apprendere l'arte di osservare" (bella la tua firma!)
Grazie
"maxein":
Ciao gugo82 e grazie per la risposta.In quella con gli esponziali tutto chiaro tranne che per una cosa: ma nell'ultima uguaglianza non dovrebbe essere al numeratore $1+e^(2x)$ ?
Certo, ho commesso un errore di battitura.
"maxein":
In quella con le funzioni iperboliche ho ancora dubbi.
Fino a $(sinh^2x+cos^2y)/(sinh^2 2x+cos^2 2y)$ ci sono .
Non ho chiare due cose:
1. In $(sinh^2x+cos^2y)/(sinh^2 2x+cos^2 2y)<=(sinh^2x+1)/(sinh^2 2x)$
Ok il numeratore(si è maggiorato $cos^2 y <=1$.
Ma il denominatore da dove viene fuori? Si è minorato così $0<=cos^2 y$?
Sì, esatto.
"maxein":
2.La diseguaglianza $(sinh^2x+cos^2y)/(sinh^2 2x+cos^2 2y)<=(sinh^2x+1)/(sinh^2 2x)$ a cui sei arrivato tu ( che già mi va bene), contiene i quadratri :come ci arrivo a $|cosh(x+iy)/cosh(2x+2iy)|<=(sinhx+cosy)/(sinh2x)<=(sinhx+1)/(sinh2x)$ senza quadrati?C'è qualcosa che mi sfugge...
Ah, non lo sò.
Suppongo che chi ha fatto il pasaggio abbia sbagliato i conti... Capita.
"maxein":
vorrei capire come ci si arriva,voglio "apprendere l'arte di osservare" (bella la tua firma!)
Il trucco è fare molti esercizi e, soprattutto, rileggere di volta in volta ciò che si sà alla luce delle nuove conoscenze acquisite.
Grazie! 
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