Maggioranti e minoranti dell'insieme vuoto
Salve,
Mi scuso in anticipo perché non so ancora usare i simboli sul forum.
Nel libro un maggiorante è definito così:
M è maggiorante in R di S sottoinsieme di R se per ogni x che appartiene a S (se x appartiene a S allora x<=m).
E fin qui va bene.
Poi c'è scritto:
"Ne segue che se S=insieme vuoto , allora l'insieme dei maggioranti in R di S coincide con R stesso (per ogni x, x appartiene a S è falsa, e quindi l'implicazione è vera)."
Ho capito che "x appartiene a S" è falsa e quindi l' implicazione è vera, ma non capisco perché da questo fatto conclude che l'insieme dei maggioranti è tutto R.
Lo vorrei spiegato nel modo più semplice possibile, grazie.
Mi scuso in anticipo perché non so ancora usare i simboli sul forum.
Nel libro un maggiorante è definito così:
M è maggiorante in R di S sottoinsieme di R se per ogni x che appartiene a S (se x appartiene a S allora x<=m).
E fin qui va bene.
Poi c'è scritto:
"Ne segue che se S=insieme vuoto , allora l'insieme dei maggioranti in R di S coincide con R stesso (per ogni x, x appartiene a S è falsa, e quindi l'implicazione è vera)."
Ho capito che "x appartiene a S" è falsa e quindi l' implicazione è vera, ma non capisco perché da questo fatto conclude che l'insieme dei maggioranti è tutto R.
Lo vorrei spiegato nel modo più semplice possibile, grazie.
Risposte
L'hai detto tu stesso: l'implicazione $x\in S \Rightarrow x\le M$ e' vera per ogni $M$ dal momento che $x\in S$ e' sempre falsa.
Forse ho capito.Allora non avevo capito proprio l'implicazione.
Grazie
Grazie
Però continuo a non capire perché "vale per ogni M".
Perché posto $S=emptyset$
$forall MinRR: forallx inS=>xleqM$
Tu dici che per ogni reale, se $x$ sta in $S$ allora $xleqM$ ma se la premessa è falsa allora l’implicazione è vera, pertanto l’insieme dei maggioranti di $S$ è tutto $RR$ perchè comunque scegli $M$ ti risulta che l’implicazione sia vera
$forall MinRR: forallx inS=>xleqM$
Tu dici che per ogni reale, se $x$ sta in $S$ allora $xleqM$ ma se la premessa è falsa allora l’implicazione è vera, pertanto l’insieme dei maggioranti di $S$ è tutto $RR$ perchè comunque scegli $M$ ti risulta che l’implicazione sia vera
Dovrei aver capito;
La definizione è:
m è maggiorante in R di S sottoinsieme di R se per ogni x che appartiene a S (se x appartiene a S allora x<=m).
Quindi m è maggiorante in R di S sottoinsieme di R se per ogni x che appartiene a S (questa cosa è vera), allora poichè questa cosa, nel caso dell'insieme vuoto è vera sempre, qualunque reale sostituito a m soddisfa la definizione, ho capito bene?
La definizione è:
m è maggiorante in R di S sottoinsieme di R se per ogni x che appartiene a S (se x appartiene a S allora x<=m).
Quindi m è maggiorante in R di S sottoinsieme di R se per ogni x che appartiene a S (questa cosa è vera), allora poichè questa cosa, nel caso dell'insieme vuoto è vera sempre, qualunque reale sostituito a m soddisfa la definizione, ho capito bene?
No, e' la verita' dell'implicazione $A\Rightarrow B$ che devi guardare. Nel tuo caso $A$ e' sempre falsa, che rende l'implicazione vera per ogni valore $M$ che metti, quindi ogni $M$ e' maggiorante. E' la stessa tecnica che usi per dimostrare che il vuoto e' sottoinsieme di ogni insieme: devi dimostrare che per ogni $X$ hai $x\in \emptyset \Rightarrow x\in X$.
Ora ho capito;
L'implicazione è sempre vera perché è falsa l'ipotesi nel caso dell'insieme vuoto, allora ogni M soddisfa la definizione.
Grazie ancora
L'implicazione è sempre vera perché è falsa l'ipotesi nel caso dell'insieme vuoto, allora ogni M soddisfa la definizione.
Grazie ancora
esatto.
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