Maggiorante e minorante lunghezza di una curva
sia
$gamma=\{(x=t^3-t),(y=t^2-1):}$
trovare una formua per il calcolo della lunghezza della curva e trovarne un maggiorante e un minorante...
allora la formula della lunghezza mi viene $\int_gamma(sqrt(9t^4-2t^2+1)dt))$
ma per trovare un magg e un min???
per il minorante ho provato a studiare $g(t)=9t^4-2t^2+1$ e ho trovato che ha un minimo in per $t=(1/13)^(1/3)$
dunque un minorante potrebbe essere $(1/13)^(1/3)$?
e per il maggiorante?
$gamma=\{(x=t^3-t),(y=t^2-1):}$
trovare una formua per il calcolo della lunghezza della curva e trovarne un maggiorante e un minorante...
allora la formula della lunghezza mi viene $\int_gamma(sqrt(9t^4-2t^2+1)dt))$
ma per trovare un magg e un min???
per il minorante ho provato a studiare $g(t)=9t^4-2t^2+1$ e ho trovato che ha un minimo in per $t=(1/13)^(1/3)$
dunque un minorante potrebbe essere $(1/13)^(1/3)$?
e per il maggiorante?
Risposte
Ma in che intervallo varia la $t$?
si scusate $t\in[-1,1]$
La funzione integranda è sempre positiva ed ha ( in $[-1,1]$) Max assoluto in $t=+-1$ pari a $M=2sqrt(2)$ , mentre ha minimo assoluto in $t=+-1/3$ pari a $ m= 2sqrt(2)/3$.
Si può quindi maggiorare e minorare l'integrale così:
$2*2sqrt(2)/3=4sqrt(2)/3 <= int_(-1)^1 sqrt( 9t^4-2t^2+1) dt <= 2*2sqrt(2)=4sqrt(2) $.
Si può quindi maggiorare e minorare l'integrale così:
$2*2sqrt(2)/3=4sqrt(2)/3 <= int_(-1)^1 sqrt( 9t^4-2t^2+1) dt <= 2*2sqrt(2)=4sqrt(2) $.
massimo e minimi li hai trovati facendo la derivata prima?
....perchè il minimo mi torna ma non il max... cioè trovo come max $t=0$... ah però vedi che $f(0)=1$ mentre in $t=+-1$ $f(+-1)=2sqrt(2)$ quindi prendi $M=2sqrt(2)$ giusto?
un'altra cosa... non capisco perchè moltiplichi per 2...
Perchè $ 2 = (1-(-1) )$ è la base del rettangolo.
no scusa non ho capito...
L'integrale da maggiorare e minorare rappresenta geometricamente l'area " che sta sotto " al grafico della funzione $sqrt(9t^4-2t^2+1) $ .
Tale funzione, nell'intervallo $t in[-1,1]$ ha minimo assoluto di valore $2sqrt(2)/3 $ e massimo assoluto di valore $2sqrt(2)$.
L'area del rettangolo di base 2 e altezza $2sqrt(2) $ sarà espressa da un numero maggiore del valore dell'integrale ; viceversa per il rettangolo di base 2 e altezza $2sqrt(2)/3$.
Quindi se chiamo $I $ il valore dell'integrale sarà $ 4sqrt(2)/3<= I <=4 sqrt(2) $.
Tale funzione, nell'intervallo $t in[-1,1]$ ha minimo assoluto di valore $2sqrt(2)/3 $ e massimo assoluto di valore $2sqrt(2)$.
L'area del rettangolo di base 2 e altezza $2sqrt(2) $ sarà espressa da un numero maggiore del valore dell'integrale ; viceversa per il rettangolo di base 2 e altezza $2sqrt(2)/3$.
Quindi se chiamo $I $ il valore dell'integrale sarà $ 4sqrt(2)/3<= I <=4 sqrt(2) $.
ok... ma nn ho capito il significato del rettangolo... cioè io ho un integrale che avrà un certo valore... e io considero un rettangolo più grande e uno più piccolo dell'area sottesa al grafico?
Riassumiamo :
La lunghezza della curva $gamma $ ( per $t in [-1,1]$ è data dal valore del seguente integrale definito $I=int_(-1)^1sqrt( 9t^4-2t^2+1)dt $ .
Questo integrale penso non sia calcolabile elementarmente .
L'esercizio chiede allora di indicare 2 valori numerici-uno per difetto e uno per eccesso - trai quali sarà senz'altro compreso il valore di $I$ .
Poichè$ I$ rappresenta geometricamente l'area sottesa dalla curva $y = sqrt( 9t^4-2t^2+1) $ , limitata dall'asse $t$ e dalle rette di equazione $t=-1 $ e $ t=1 $, cerco di approssimare quest'area con due valori uno per difetto , l'altro per eccesso ottenuti calcolando l'area di due rettangoli , ambedue con base di lunghezza $2 =1-(-1)$ e di altezza rispettivamente il minimo assoluto della funzione $ y $ nell'intervallo che vale $2sqrt(2)/3 $ e il massimo assoluto che vale $2sqrt(2)$.
Le due aree tra le quali è compreso il valore di $ I $ sono quindi $4sqrt(2)/3 $ e $ 4sqrt(2)$ rispettivamente.
Se fai un disegno anche approssimato del grafico di $y = sqrt( 9t^4-2t^2+1) $ vedrai che è tutto chiaro.
OK ?
La lunghezza della curva $gamma $ ( per $t in [-1,1]$ è data dal valore del seguente integrale definito $I=int_(-1)^1sqrt( 9t^4-2t^2+1)dt $ .
Questo integrale penso non sia calcolabile elementarmente .
L'esercizio chiede allora di indicare 2 valori numerici-uno per difetto e uno per eccesso - trai quali sarà senz'altro compreso il valore di $I$ .
Poichè$ I$ rappresenta geometricamente l'area sottesa dalla curva $y = sqrt( 9t^4-2t^2+1) $ , limitata dall'asse $t$ e dalle rette di equazione $t=-1 $ e $ t=1 $, cerco di approssimare quest'area con due valori uno per difetto , l'altro per eccesso ottenuti calcolando l'area di due rettangoli , ambedue con base di lunghezza $2 =1-(-1)$ e di altezza rispettivamente il minimo assoluto della funzione $ y $ nell'intervallo che vale $2sqrt(2)/3 $ e il massimo assoluto che vale $2sqrt(2)$.
Le due aree tra le quali è compreso il valore di $ I $ sono quindi $4sqrt(2)/3 $ e $ 4sqrt(2)$ rispettivamente.
Se fai un disegno anche approssimato del grafico di $y = sqrt( 9t^4-2t^2+1) $ vedrai che è tutto chiaro.
OK ?
grandissimo... evidentemente non mi era ben chiaro il significato di maggiorare e minorare l'area... grazie e buon natale 
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