Magari con l'Analisi va meglio
è noto che se una funzione derivabile ha derivata positiva allora è crescente...
(mi pare di ricordare una cosa del genere!!)
Il viceversa è un tantino più delicato..
infatti non vale..
è possibile trovare facilmente esempi di funzioni a derivata nulla
su una infinità numerabile di punti ma strettamente crescente.
Premesso ciò:
Trovare un esempio di funzione limitata su un intervallo limitato, strettamente crescente, derivabile
e con derivata nulla su una infinità piùcchenumerabile di punti.
(mi pare di ricordare una cosa del genere!!)
Il viceversa è un tantino più delicato..
infatti non vale..
è possibile trovare facilmente esempi di funzioni a derivata nulla
su una infinità numerabile di punti ma strettamente crescente.
Premesso ciò:
Trovare un esempio di funzione limitata su un intervallo limitato, strettamente crescente, derivabile
e con derivata nulla su una infinità piùcchenumerabile di punti.
Risposte
uber il titolo del topic illuderà sicuramente una marea di gente... magari per disilluderli vicino alla parola "Analisi" aggiungi l'aggettivo appropriato "funzionale" 
...mi astengo dal rispondere in quanto la risposta l'ho trovata su degli appunti che esulano dalle mie attuali conoscenze e tra l'altro qualche passaggio mi è anche oscuro... se rispondessi barerei a discapito di chi la risposta la conosce di suo
...mi astengo dal rispondere in quanto la risposta l'ho trovata su degli appunti che esulano dalle mie attuali conoscenze e tra l'altro qualche passaggio mi è anche oscuro... se rispondessi barerei a discapito di chi la risposta la conosce di suo
kroldar, permettimi di dissentire, ma credo che non ci sia bisogno di ricorrere all'analisi funzionale...
la mia soluzione, che non sono sicuro però che sia completamente giusta
utilizza solo un pò di analisi 1 e una piccola dose di fantasia
la mia soluzione, che non sono sicuro però che sia completamente giusta
utilizza solo un pò di analisi 1 e una piccola dose di fantasia
certo che ti permetto di dissentire, ci mancherebbe... chi meglio di te che hai postato il problema può conoscerne la soluzione. il mio intervento era motivato dal fatto che la soluzione che ho trovato io uno studente di Analisi I non la capirebbe mai... magari però quella soluzione non è l'unica o meglio non è la più semplice e ne esistono altre ancora più intuitive
bisogna vedere anche cosa intendi e cosa intendo io per "analisi 1"...
certo che le derivate non ti bastano
per ora non do aiuti, perchè non so se qualcuno ci sta pensando...
certo che le derivate non ti bastano
per ora non do aiuti, perchè non so se qualcuno ci sta pensando...
A primo impatto sembra impossibile. Ma se dite che si puo' fare...
Vediamo un po'. Quello che sto per dire e' assolutamente vago.
Derivata nulla e strettamente crescente vuol dire che dove la derivata e nulla ci sia un flesso.
Preso come domino l'intervallo [a,b] scegliamo (tra f=gli irrazionali dei questo intervallo) un insieme di punti piu' che numerabili. Su questi punti la nostra funzione f e' l'identita'.
Sia x uno ndi questi funti, nel punto del piano (x,x) "attacchiamo" un pezzo di funzione x^3 centrata in quel punto invece che nell'origine. Probabilmente scegliendo l'insieme dei punti irrazionali in modo opportuno e' possibile "incollare i vari pezzi oltre che con continuita', anche in modo derivabile.
Che ne dite.
Platone
Vediamo un po'. Quello che sto per dire e' assolutamente vago.
Derivata nulla e strettamente crescente vuol dire che dove la derivata e nulla ci sia un flesso.
Preso come domino l'intervallo [a,b] scegliamo (tra f=gli irrazionali dei questo intervallo) un insieme di punti piu' che numerabili. Su questi punti la nostra funzione f e' l'identita'.
Sia x uno ndi questi funti, nel punto del piano (x,x) "attacchiamo" un pezzo di funzione x^3 centrata in quel punto invece che nell'origine. Probabilmente scegliendo l'insieme dei punti irrazionali in modo opportuno e' possibile "incollare i vari pezzi oltre che con continuita', anche in modo derivabile.
Che ne dite.
Platone
la tua intuizione potrebbe portare a qualcosa...
provala a formalizzare...
devi formalizzare la scelta degli irrazionali (non fossilizzarti
troppo sugli irrazionali) e quello di attaccamento...
p.s.
il "potrebbe" significa: sicuramente si!
però prova a formalizzarla, ti accorgerai che dovrai mettere
in mezzo un pò di cose..
provala a formalizzare...
devi formalizzare la scelta degli irrazionali (non fossilizzarti
troppo sugli irrazionali) e quello di attaccamento...
p.s.
il "potrebbe" significa: sicuramente si!
però prova a formalizzarla, ti accorgerai che dovrai mettere
in mezzo un pò di cose..
Anzitutto definendo f(x)=x nei punti che dicevo non va bene perche' in [0,1] la funzione x^3 cresce con derivato minore di 1.
Ho poi pensato una cosa perversa cercando di usare l'assioma della scelta per creare un buon ordinamento sui reali... stavo uscendo pazzo.
Nel frattempo ho cominciato apensare che la cosa non fosse possibile, e nonostante l'esempio che Kroldar ha trovato su quegli appunti, mi e' venuta in mente una semplice dimostrazione del fatto che non sia possibile.
I punti in cui la derivata di annulla devono necessariamente essere isolati, dato che la funzione deve essere strettamente crescente; quindi per ogniuno di esse esiste un intornino U(x) t.c. per ogni y appartenente a U(x)\{x} si ha f'(y)/=0.
Ogni intornino avra' raggio ositivo, e scelgo i vari raggi in modo che l'intersezione tra due di questi intorni sia sempre vuota.
In ogniuno di questi intornini sara' perlomeno contenuto un razionale (in realta' ce ne sono una quantita' numerabile).
Posso allora costruire una funzione iniettiva dall'insieme dei miei intornini in Q, scegliendo (uso AC) per ogniuno di essi un razionale in essi contenuto. Questo implica che in numero di questi intornini, e quindi dei punti in cui si puo' annullare la derivata, ha cardinalita' minore uguale a Q, quindi sono al piu' numerabili.
A me sembra funzionare.
Commenti.
Platone
Ho poi pensato una cosa perversa cercando di usare l'assioma della scelta per creare un buon ordinamento sui reali... stavo uscendo pazzo.
Nel frattempo ho cominciato apensare che la cosa non fosse possibile, e nonostante l'esempio che Kroldar ha trovato su quegli appunti, mi e' venuta in mente una semplice dimostrazione del fatto che non sia possibile.
I punti in cui la derivata di annulla devono necessariamente essere isolati, dato che la funzione deve essere strettamente crescente; quindi per ogniuno di esse esiste un intornino U(x) t.c. per ogni y appartenente a U(x)\{x} si ha f'(y)/=0.
Ogni intornino avra' raggio ositivo, e scelgo i vari raggi in modo che l'intersezione tra due di questi intorni sia sempre vuota.
In ogniuno di questi intornini sara' perlomeno contenuto un razionale (in realta' ce ne sono una quantita' numerabile).
Posso allora costruire una funzione iniettiva dall'insieme dei miei intornini in Q, scegliendo (uso AC) per ogniuno di essi un razionale in essi contenuto. Questo implica che in numero di questi intornini, e quindi dei punti in cui si puo' annullare la derivata, ha cardinalita' minore uguale a Q, quindi sono al piu' numerabili.
A me sembra funzionare.
Commenti.
Platone
"Platone":
I punti in cui la derivata di annulla devono necessariamente essere isolati, dato che la funzione deve essere strettamente crescente; quindi per ogniuno di esse esiste un intornino U(x) t.c. per ogni y appartenente a U(x)\{x} si ha f'(y)/=0.
Platone
mi sembra che questo passaggio sia sbagliato: non è detto che trovi un intorno in cui $f'\ne0$ anche perchè per fare questo immagino che tu usi che la derivata sia continua, ma non mi sembra che io abbia detto che la derivata è continua...
comunque... credo che si riesca a fare anche con la derivata continua..
p.s.
il buon ordinamento sui reali esiste, ma nessuno sa come è fatto!
Scusa ma dire che una funzione e' derivabile non e' equivalente a dire che la derivata dia continua?
Lo so che nessuno sa come e' fatto il buon ordinamento sui reali, ma stavo pensando un modo per dimostrare che quella funzione si puo' costruire nelo stesso modo in cui si dimostra che esiste un buon ordinamento sui reali.
Sinceramente non riesco a capire perche' non dovrei trovare un intorno: tra due punti in cui si annulla la derivata deve essercene almeno uno sulla quale non si annulla, e dato che la distanza tra due reali distinti e' sempre positiva, quello e' il raggio del mio intornino.
Ad ogni modo, se davvero la mia dimostrazione e' sbagliata, non so proprio coem altro fare.
Tu cosa avegvi pensato?
Platone
Lo so che nessuno sa come e' fatto il buon ordinamento sui reali, ma stavo pensando un modo per dimostrare che quella funzione si puo' costruire nelo stesso modo in cui si dimostra che esiste un buon ordinamento sui reali.
Sinceramente non riesco a capire perche' non dovrei trovare un intorno: tra due punti in cui si annulla la derivata deve essercene almeno uno sulla quale non si annulla, e dato che la distanza tra due reali distinti e' sempre positiva, quello e' il raggio del mio intornino.
Ad ogni modo, se davvero la mia dimostrazione e' sbagliata, non so proprio coem altro fare.
Tu cosa avegvi pensato?
Platone
la soluzione la metto domani che è piuttosto lunga e oggi non ho tempo
uber... per caso la funzione a cui avevi pensato tu prende il nome da un famoso matematico ottocentesco?
per caso si può fare con le funzioni seno,coseno, facendo in modo che nell'intervallo ci siano una quantità piucchenumerabile di punti di flesso a tangenza orizzontale?
l'unico nome che può prendere la mia funzione è giust'appunto il mio,
visto che l'ho costruita io...
non è quindi la funzione di Weierstrass..
o almeno non so se è quella,
visto che non conosco esplicitamente la funzione di Weierstrass,
che fra l'altro è una funzione di Bolzano
(ma si sa, a volte, in matematica non viene premiato il primo).
@Guillame
sicuramente si può fare con seno e coseno...
(in realtà si può fare con quello che vuoi, a patto che restino verificate alcune condizioni)
ed è abbastanza chiaro che debba esserci una infinità piùcchenumerabile
di flessi orizzontali...
non è chiaro come vada costruita questa infinità..
comunque se preferisci pensarci ancora domani eviterò di postare la soluzione
fammi sapere
ciao
visto che l'ho costruita io...
non è quindi la funzione di Weierstrass..
o almeno non so se è quella,
visto che non conosco esplicitamente la funzione di Weierstrass,
che fra l'altro è una funzione di Bolzano
(ma si sa, a volte, in matematica non viene premiato il primo).
@Guillame
sicuramente si può fare con seno e coseno...
(in realtà si può fare con quello che vuoi, a patto che restino verificate alcune condizioni)
ed è abbastanza chiaro che debba esserci una infinità piùcchenumerabile
di flessi orizzontali...
non è chiaro come vada costruita questa infinità..
comunque se preferisci pensarci ancora domani eviterò di postare la soluzione
fammi sapere
ciao
veramente non ci ho pensato per niente e non credo che avrò il tempo per pensarci domani, quindi sei liberissimo di postare la soluzione se vuoi
"ubermensch":
l'unico nome che può prendere la mia funzione è giust'appunto il mio,
visto che l'ho costruita io...
eheheh magari questa funzione sarà oggetto di studio nei corsi di analisi tra alcuni anni...
la funzione che avevo trovato io invece si chiama "funzione di Cantor" e ho letto che è anche conosciuta come "scala del diavolo"... se non ho visto male dovrebbe avere tutti i requisiti da te richiesti, o meglio le condizioni da te richieste dovrebbero essere rispettate q.o.
è possibile anche che abbia riscoperto quella funzione:
come vedrai domani, l'idea è proprio quella di costruire
una funzione la cui derivata è positiva quasi ovunque
e nulla solo sull'insieme di Cantor...
A domani i dettagli
come vedrai domani, l'idea è proprio quella di costruire
una funzione la cui derivata è positiva quasi ovunque
e nulla solo sull'insieme di Cantor...
A domani i dettagli
"Platone":
Sinceramente non riesco a capire perche' non dovrei trovare un intorno: tra due punti in cui si annulla la derivata deve essercene almeno uno sulla quale non si annulla, e dato che la distanza tra due reali distinti e' sempre positiva, quello e' il raggio del mio intornino.
ubermensch ti prego caldamente di non lasciare impunite le mie baggianate.
Solo ora mi rendo conto della fesseria che ho detto.
Cmq non ho ancora avuto tempo di vedere la tua funzione. Spero di riuscire a farlo il piu' presto possibile.
Platone
mi dovevo arrabbiare?
Non intendevo quello.
Era un semplice invito a coreggermi quando sbaglio.
Platone
Era un semplice invito a coreggermi quando sbaglio.
Platone
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo