MacLaurin della funzione $f(x)=16sin(x)/x +x$

[psykomantisita]

Salve,

come da titolo, l'ultimo esame che ho affrontato mi chiedeva di calcolare MacLaurin di grado due, della funzione:

$f(x)=16sin(x)/x +x$

salta subito all'occhio che $f(0),f^{(1)}(0),f^{(2)}(0),...,f^{(n)}(0)$ non sono definite perchè sono fuori dal dominio.

come posso calcolare il polinomio di secondo grado? Attraverso il limite a zero? Qualcuno può dirmi come devo comportarmi?

[marcosocio]

Considera le funzioni singolarmente: sviluppa solo $sinx$. Dividendo poi quello sviluppo per $x$ e facendo gli altri conti, dovresti ottenere $f(x)=16+x-8/3x^2+o(x^3)$.

[psykomantisita]

Considerando le funzioni singolarmente intendi seno a numeratore, x a denominatore e la x sommata? perchè così comunque divido per zero sotto.

[Frink1]

Sei in un intorno di $0$. In un intorno di zero approssimi il seno, che sostituito poi nella tua funzione restituisce un'approssimazione della stessa sempre nell'intorno di $0$.

[marcosocio]

Infatti, lo sviluppo che ottieni approssima la tua funzione in un intorno, non è un problema l'effettivo comportamento della funzione nel punto.

[psykomantisita]

Ok, ma come lo scrivo?? Ho capito che sto approssimando in un punto e dunque non mi interessa il valore della funzione in quel punto però se provo ad usare la formula per trovare il polinomio di MacLaurin di secondo grado mi viene questo:

Numeratore che è $16sin(x)$ allora ho: $n_2(x)=16sin(0)+(16cos(0))/(1!)x-(16sin(0))/(2!)x^2+o(x^2) = 16x+o(x^2)$
Denominatore che è $x$ allora ho: $d_2(x)=0+1/(1!)x+0/(2!)x^2+o(x^2)=x+o(x^2)$
e il termine x che ovviamente si comporta come il denominatore.

Dunque se uso queste approssimazioni e le sostituisco ai loro termini ho:

$p_2(x)=(16x+o(x^2))/(x+o(x^2))+x+o(x^2)$

quindi questo sarebbe il polinomio di secondo grado di MacLaurin?

[Frink1]

Intanto perché sviluppi $x$ che è polinomio? È noto che sviluppo polinomiale di polinomio sempre polinomio è, e dello stesso grado. Insomma, sviluppando con McLaurin un polinomio trovi sempre il polinomio di partenza.

Poi: sì, quello è il risultato, che puoi esprimere (meglio) come $16+x$. Se avessi sviluppato con grado più alto avresti trovato il polinomio che ti ha suggerito marcosocio, come vedi combaciano in effetti.

[psykomantisita]

Si MacLaurin è inutile effettivamente su x. Ad ogni modo, se non sviluppo il denominatore e il termine x, ho :
$f(x)=(16x+o(x^2))/x +x$

Ultima domanda, ma l'o-piccolo che influenza ha? perchè vedo che te lo hai tralasciato!

Ti chiedo perchè (nell'esercizio che devo fare) mi chiede di fare MacLaurin al secondo grado e poi calcolare l'integrale del polinomio ottenuto e se c'è l'o-piccolo non so come comportarmi!

[Frink1]

"psykomantisita":
$f(x)=(16x+o(x^2))/x +x$

Usiamo le regole dell'algebra degli o-piccoli:

$ f(x)=(16x+o(x^2))/x +x=16+(o(x^2))/x+x=16+x+o(x) $

Per questo è necessario sviluppare due gradi oltre, sostituendo a $sin(x)$ il polinomio $x-x^3/6+o(x^4)$...

Così ottieni $ 16((x-x^3/6+o(x^4))/x)+x=16+x-8/3x^2+o(x^3) $ che è sviluppato al grado due, come richiesto.



L'integrale su che intervallo deve essere calcolato?

[psykomantisita]

da -1 a 1. Ho appena scoperto che mi hanno bocciato.
Scusa se ti rompo, l'algebra degli o-piccoli permette la semplificazione a quanto pare con la x a denominatore, diminuendo il grado l'ordine dell'o. Quel che non capisco è perchè è necessario sviluppare ben due gradi oltre, così non sviluppando il seno al 4° grado?Perchè questa operazione?

[Frink1]

Tu cerchi un polinomio di grado $2$. Quello che ottieni se sviluppi il seno al grado $2$ è un polinomio di grado $1$, con resto che è $o(x)$. Se il resto fosse $o(x^2)$ quel polinomio andrebbe bene, semplicemente il termine di grado due sarebbe nullo. Invece con $o(x)$ il termine di grado due potrebbe (ed è, effettivamente) inglobato nel resto. Sviluppando oltre, spunta fuori quel $-8/3x^2$ che è il termine di grado due che si "nascondeva" nell'o-piccolo di $x$. Ora l'o-piccolo è di $x^3$, ma questo non è un problema perché $o(x^3)=o(x^2)$ (sempre seguendo questa notazione un po' impropria).

Per quanto riguarda l'integrale, credo che la richiesta sia semplicemente di integrare il polinomio, trascurando il resto.