Mac Laurin coseno iperbolico

[ingegnè]

Ciao a tutti, per risolvere un limite devo applicare Taylor a $ cosh^2 x $ ma non riesco a calcolarmi il polinomio da sostituire poi nel limite perchè non ho molta familiarità con le funzioni iperboliche. Wolfram mi dà questo risultato ( $ 1+x^2+(x^4)/3 + o(x^4) $ ) che va benissimo dato che una volta sostituito il limite riesce, ma vorrei capire come farlo da solo. Qualcuno puo' aiutarmi? Grazie

[poncelet]

Ricordi come è definito il coseno iperbolico?

[lordb]

Ti dice qualcosa questa formula:

$cosh (x) = sum_(n=0)^k 1/((2n)!)*x^(2n) + o (x^(k+1))$ ??

Altrimenti puoi sempre usare Taylor.

[ingegnè]

@Maxsiviero: Si, $ cosh x = (e^x+e^(-x))/ 2 $ .

@Lordb : Eh io vorrei capire questo, come ci arrivo con taylor? Sicuramente sbaglio qualcosa a livello di conti. Per il $ cosh x $ non ho problemi a ricavarlo..

[poncelet]

Siccome tu conosci lo sviluppo di Taylor di \(e^{x}\) avrai che
\[
\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \implies \cosh^{2}x=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}
\]

adesso ti sviluppi gli esponenziali a numeratore (per esempio fino al quart'ordine) ed ottieni il risultato di Wolfram.

[ingegnè]

Mi ero andato ad incasinare con calcoli allucinanti quando avevo la soluzione sotto il naso grazie mille

[lordb]

Allora, per ricavare la formula che ho scritto basta un semplice sviluppo in MacLaurin!

Prima Taylor:

$T(x-x_0)=sum_(k=0)^n (f^k(x_0))/(k!)*(x-x_0)^k+o(x-x_0)^n$

Ma la tua funzione è il coseno iperbolico:

$T(x-x_0)=sum_(k=0)^n (cosh^k(x_0))/(k!)*(x-x_0)^k+o(x-x_0)^n$

MacLaurin non è altro che Taylor quando $x_0=0$, quindi:

$T(x-0)=M(x)=sum_(k=0)^n (cosh^k(0))/(k!)*x^k+o(x)^n$

Notiamo che se:

$k in 2NN = cosh^k(0)=1$
$k in 2NN+1 = cosh^k(0)=0$

Allora:

$M(x)=sum_(k=0)^n 1/((2k)!)*x^(2k)+o(x)^(n+1)$

[ingegnè]

Apposto tutto chiaro

[lordb]

Di niente, comunque ottimo anche il consiglio di maxsiviero!