Mac Laurin

[Archimede87]

Per piacere, chi mi aiuta a asviluppare questo limite con la formula di Mac Laurin?

$lim_(x->0) (x^3+tg^(4)x+e^(x^2)-cosx)/(sin^(3)x)$

[_nicola de rosa]

"Archimede87":Per piacere, chi mi aiuta a asviluppare questo limite con la formula di Mac Laurin?

$lim_(x->0) (x^3+tg^(4)x+e^(x^2)-cosx)/(sin^(3)x)$

$tg^4x=x^4+o(x^5),e^(x^2)=1+x^2+x^4/2+o(x^5),cosx=1-x^2/2+x^4/24+o(x^5),sin^3x=x^3+o(x^4)$ per cui
$lim_(x->0) (x^3+tg^(4)x+e^(x^2)-cosx)/(sin^(3)x)=lim_(x->0)(x^3+x^4+1+x^2+x^4/2-1+1/2x^2-x^4/24)/(x^3)$=
$lim_(x->0)(x^2(x+35/24x^2+3/2))/(x^3)$
=$lim_(x->0)(x+35/24x^2+3/2)/x$ e questo limite non esiste perchè
$lim_(x->0^+)(x+35/24x^2+3/2)/x=+infty$ e $lim_(x->0^-)(x+35/24x^2+3/2)/x=-infty$

[Archimede87]

Per trovare lo sviluppo in Taylor di $tg^(4)x$ e di$e^(x)^(2)$ c'è un modo più semplice? Per trovarlo di solito prendo lo sviluppo della tangente, lo elevo al quadrato e poi ancora al quadrato, però questa operazione richiede molto tempo e per il compito, avendo a disposizione un'ora e mezzo, non è ceto la migliore.

[fireball1]

Per $e^(x^2)$ non c'è niente di più semplice
che considerare lo sviluppo di $e^x$ e sostituire
nei termini $x^2$ al posto di $x$.