||M||a,b
Buongiorno a tutti,
sto cercando di stabilire un metodo per risolvere facilmente esercizi del tipo:
Dato l'operatore $M = ((1,1),(0,1))$ si calcoli $||M||_(a,b)$ dove lo spazio di partenza è dotato della norma $L^a$ e quello di arrivo della $L^b$. Spazio di partenza e di arrivo sono due spazi di Banach.
A livello meccanico sono fortissimo nelle risoluzioni.... ma vorrei capire il perchè di certi passaggi o affermazioni.
Ad esempio, so bene che: $||M||_(1,1)= \text{sup}_{||(x,y)||_1=1} ||M(x,y)||_1$
(ambedue gli spazi sono dotati di norma $L^1$)
so che poi bisogna trovare $M(x,y) = ((1,1),(0,1)) ((x),(y)) = ( x+y , y )$
per cui $||M||_(1,1) = \text{sup}_{|x|+|y|=1} |x+y|+|y|$
fin qui è chiaro: ho come "dominio" L1 e la $|x|+|y|=1$.
Se riporto su un grafico $|x|+|y|=1$ ottengo un rombo con i vertici nei punti A(1,0) ; B(0,1) ; C(-1,0) ; D(0,-1).
A questo punto so che devo dire che utilizzo peratori lineari che attuano una trasformazione lineare.
Dico che è una funzione lineare a tratti... e presumo che lo debba dire perchè ogni lato del rombo è una funzione lineare a tratti...
Infatti, il passo successivo che faccio è quello di calcolare la trasformata dei vertici:
T(A) = T(1,0) = (1+0 , 0) = (1,0)
T(B) = T(0,1) = (0+1 , 1) = (1,1)
T(C) = T(1,0) = (-1+0 , 0) = (-1,0)
T(D) = T(1,0) = (0-1 , -1) = (-1,-1)
Calcolo la trasformata su tutti e 4 i punti... ma sulla base di cosa potrei dire che posso calcolarlo su due vertici non simmetrici? Perchè non puà essere su un punto sul segmento che unisce, ad esempio A e B?
Poi, faccio $||T(A)||_1 = |1|+|0|=1$ e $||T(B)||_1 = |1|+|1|=2$ e prendo il $max (||T(A)||_1,||T(B)||_1)$, che vale 2.
Correggetemi se ho sbagliato o se c'è qualche argomentazione a corrollario di quanto scritto.
Ma come variano le considerazioni che devo fare per giustificare i vari passaggi al variare della norma di partenza e di quella di arrivo?
Ad esempio, nel caso di $||M||_(\infty,2)$? facendo il grafico di $max (|x|,|y|) =1$ ottengo un quadrato... cosa dico? che è una funzione lineare a tratti o che è una funzione covessa su parallelogramma convesso?
Grazie
E quali sarebbere i successivi passaggi logici?
sto cercando di stabilire un metodo per risolvere facilmente esercizi del tipo:
Dato l'operatore $M = ((1,1),(0,1))$ si calcoli $||M||_(a,b)$ dove lo spazio di partenza è dotato della norma $L^a$ e quello di arrivo della $L^b$. Spazio di partenza e di arrivo sono due spazi di Banach.
A livello meccanico sono fortissimo nelle risoluzioni.... ma vorrei capire il perchè di certi passaggi o affermazioni.
Ad esempio, so bene che: $||M||_(1,1)= \text{sup}_{||(x,y)||_1=1} ||M(x,y)||_1$
(ambedue gli spazi sono dotati di norma $L^1$)
so che poi bisogna trovare $M(x,y) = ((1,1),(0,1)) ((x),(y)) = ( x+y , y )$
per cui $||M||_(1,1) = \text{sup}_{|x|+|y|=1} |x+y|+|y|$
fin qui è chiaro: ho come "dominio" L1 e la $|x|+|y|=1$.
Se riporto su un grafico $|x|+|y|=1$ ottengo un rombo con i vertici nei punti A(1,0) ; B(0,1) ; C(-1,0) ; D(0,-1).
A questo punto so che devo dire che utilizzo peratori lineari che attuano una trasformazione lineare.
Dico che è una funzione lineare a tratti... e presumo che lo debba dire perchè ogni lato del rombo è una funzione lineare a tratti...
Infatti, il passo successivo che faccio è quello di calcolare la trasformata dei vertici:
T(A) = T(1,0) = (1+0 , 0) = (1,0)
T(B) = T(0,1) = (0+1 , 1) = (1,1)
T(C) = T(1,0) = (-1+0 , 0) = (-1,0)
T(D) = T(1,0) = (0-1 , -1) = (-1,-1)
Calcolo la trasformata su tutti e 4 i punti... ma sulla base di cosa potrei dire che posso calcolarlo su due vertici non simmetrici? Perchè non puà essere su un punto sul segmento che unisce, ad esempio A e B?
Poi, faccio $||T(A)||_1 = |1|+|0|=1$ e $||T(B)||_1 = |1|+|1|=2$ e prendo il $max (||T(A)||_1,||T(B)||_1)$, che vale 2.
Correggetemi se ho sbagliato o se c'è qualche argomentazione a corrollario di quanto scritto.
Ma come variano le considerazioni che devo fare per giustificare i vari passaggi al variare della norma di partenza e di quella di arrivo?
Ad esempio, nel caso di $||M||_(\infty,2)$? facendo il grafico di $max (|x|,|y|) =1$ ottengo un quadrato... cosa dico? che è una funzione lineare a tratti o che è una funzione covessa su parallelogramma convesso?
Grazie
E quali sarebbere i successivi passaggi logici?
Risposte
Che cosa è la norma $a,b$ di una matrice? Se non dai la definizione difficilmente uno ti può aiutare.
sorry, ho modificato il messaggio originale.
a e b rappresentano la norma di cui sono dotati spazio di partenza ($L^a$) e spazio di arrivo ($L^b$).
io devo calcolare la norma dell'operatore ($M$) da $L^a$ in $L^b$.
a e b rappresentano la norma di cui sono dotati spazio di partenza ($L^a$) e spazio di arrivo ($L^b$).
io devo calcolare la norma dell'operatore ($M$) da $L^a$ in $L^b$.
Immagino che:
\[
\| M \|_{a,b} := \sup_{\|\mathbf{v}\|_a=1} \| \operatorname{M}(\mathbf{v})\|_b
\]
in cu \(\operatorname{M}\) è l'operatore lineare limitato associato alla matrice \(M\) in una base dello spazio di Banach di partenza...
\[
\| M \|_{a,b} := \sup_{\|\mathbf{v}\|_a=1} \| \operatorname{M}(\mathbf{v})\|_b
\]
in cu \(\operatorname{M}\) è l'operatore lineare limitato associato alla matrice \(M\) in una base dello spazio di Banach di partenza...
si! come hai fatto a scrivere $∥v∥_a=1$ sotto "sup"?
Ti basta visualizzare il codice TeX usando il tasto destro sulla formula. 
Ad ogni modo, immagino che lo spazio di Banach di partenza e di arrivo sia \(\mathbb{R}^2\) dotato, rispettivamente, delle norme:
\[
\|\mathbb{v}\|_a := \left( |x|^a + |y|^a\right)^{1/a} \qquad \text{e} \qquad \|\mathbb{v}\|_b := \left( |x|^b + |y|^b\right)^{1/b}
\]
con \(1\leq a,b<\infty\), no?
A questo punto non è difficile immaginare come procedere: infatti, con le notazioni precedenti e dette \(m_{ij}\) le entrate di \(M\), hai:
\[
\operatorname{M}(\mathbf{v}) = (m_{11} x+m_{12}y, m_{21} x+m_{22}y)
\]
dunque:
\[
\| \operatorname{M}(\mathbf{v}) \|_b = \left( |m_{11} x+m_{12}y|^b + |m_{21} x+m_{22}y|^b \right)^{1/b}
\]
e perciò (perché? Cerca di giustificarlo da solo) calcolare la norma di \(M\) equivale a risolvere il seguente problema d'estremo vincolato:
\[
\begin{cases}
\text{massimizzare} &f(x,y):=\left( \left| m_{11} x+m_{12}y\right|^b + \left| m_{21} x+m_{22}y\right|^b \right)^{1/b}\\
\text{sul vincolo} &\left( \left| x\right|^a + \left| y\right|^a\right)^{1/a} =1
\end{cases}
\]
che può essere risolto con metodi standard (casomai, dopo averlo riformulato in maniera più semplice).
Nei casi "singolari", cioé quando \(a=\infty\) o \(b=\infty\), si procede in maniera simile, ma un po' più semplice.
Prova.
Ad ogni modo, immagino che lo spazio di Banach di partenza e di arrivo sia \(\mathbb{R}^2\) dotato, rispettivamente, delle norme:
\[
\|\mathbb{v}\|_a := \left( |x|^a + |y|^a\right)^{1/a} \qquad \text{e} \qquad \|\mathbb{v}\|_b := \left( |x|^b + |y|^b\right)^{1/b}
\]
con \(1\leq a,b<\infty\), no?
A questo punto non è difficile immaginare come procedere: infatti, con le notazioni precedenti e dette \(m_{ij}\) le entrate di \(M\), hai:
\[
\operatorname{M}(\mathbf{v}) = (m_{11} x+m_{12}y, m_{21} x+m_{22}y)
\]
dunque:
\[
\| \operatorname{M}(\mathbf{v}) \|_b = \left( |m_{11} x+m_{12}y|^b + |m_{21} x+m_{22}y|^b \right)^{1/b}
\]
e perciò (perché? Cerca di giustificarlo da solo
) calcolare la norma di \(M\) equivale a risolvere il seguente problema d'estremo vincolato:\[
\begin{cases}
\text{massimizzare} &f(x,y):=\left( \left| m_{11} x+m_{12}y\right|^b + \left| m_{21} x+m_{22}y\right|^b \right)^{1/b}\\
\text{sul vincolo} &\left( \left| x\right|^a + \left| y\right|^a\right)^{1/a} =1
\end{cases}
\]
che può essere risolto con metodi standard (casomai, dopo averlo riformulato in maniera più semplice).
Nei casi "singolari", cioé quando \(a=\infty\) o \(b=\infty\), si procede in maniera simile, ma un po' più semplice.
Prova.
ok, fino qui era chiaro.
Come arrivo a dire che ho tra le mani una funzione "lineare a tratti", oppure "convessa"?
Mi riferisco al passaggio del messaggio originale in cui scrivo, dopo il calcole delle T(A), T(B), ... " Dico che è una funzione lineare a tratti... e presumo che lo debba dire perchè ogni lato del rombo è una funzione lineare a tratti..."
E poi, come giustifico in "maniera elegante" che mi basta studiare la funzione in due punti (i vertici) non simmetrici?
Come arrivo a dire che ho tra le mani una funzione "lineare a tratti", oppure "convessa"?
Mi riferisco al passaggio del messaggio originale in cui scrivo, dopo il calcole delle T(A), T(B), ... " Dico che è una funzione lineare a tratti... e presumo che lo debba dire perchè ogni lato del rombo è una funzione lineare a tratti..."
E poi, come giustifico in "maniera elegante" che mi basta studiare la funzione in due punti (i vertici) non simmetrici?
"malgracio":
Come arrivo a dire che ho tra le mani una funzione "lineare a tratti", oppure "convessa"?
Cosa è "lineare a tratti"?
Io non vedo alcuna funzione lineare a tratti in gioco...
Per quel che riguarda la convessità, dovresti ben sapere che le norme \(L^p\) con \(1
"malgracio":
Mi riferisco al passaggio del messaggio originale in cui scrivo, dopo il calcole delle T(A), T(B), ... " Dico che è una funzione lineare a tratti... e presumo che lo debba dire perchè ogni lato del rombo è una funzione lineare a tratti..."
Non mi risulta che i lati di un rombo siano funzioni.
"malgracio":
E poi, come giustifico in "maniera elegante" che mi basta studiare la funzione in due punti (i vertici) non simmetrici?
Dipende. E dipende da quale funzione vuoi studiare.
Di solito, si usa la convessità o qualche altra scorciatoia. Però tutto si può fare anche solo col Calcolo.
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