Ma non era impossibile dividere per zero?
E allora come mai il grafico della funzione sinx /x è perfetto e continuo?
Capisco la funzione sin(1/x) , nell'origine è tumultuosa e poco leggibile, non si sa effettivamente cosa succeda .
Qui però anche i due limiti destro e sinistro coincidono e sono uguali a uno! Allora 0/0 si può fare in questo caso? E' una forma indeterminata che in questo caso fa 1 .
Perchè il dominio della funzione è R\ {0} se il grafico è continuo nell'origine?
(scusate la domanda volutamente naif ).
Grazie
Capisco la funzione sin(1/x) , nell'origine è tumultuosa e poco leggibile, non si sa effettivamente cosa succeda .
Qui però anche i due limiti destro e sinistro coincidono e sono uguali a uno! Allora 0/0 si può fare in questo caso? E' una forma indeterminata che in questo caso fa 1 .
Perchè il dominio della funzione è R\ {0} se il grafico è continuo nell'origine?
(scusate la domanda volutamente naif ).
Grazie
Risposte
Il fatto è che i grafici ingannano! O meglio il "disegno" di un grafico è per forza di cose "imperfetto"
E questo citato è l'esempio migliore.
Nessun software, per quanto potente sia potrà mai farti vedere un "buco" infinitesimo.
Puoi ingrandire l'intorno dell'origine miliardi di volte ma il "buco" rimarrà infinitesimo quindi come faccio a mostrartelo?
Se interrompessi il grafico quel minimo che basta per evidenziare il buco, sbaglierei clamorosamente perché ti mostrerei un gap infinitamente più grande di quello che dovrebbe essere.
Cordialmente, Alex
E questo citato è l'esempio migliore.
Nessun software, per quanto potente sia potrà mai farti vedere un "buco" infinitesimo.
Puoi ingrandire l'intorno dell'origine miliardi di volte ma il "buco" rimarrà infinitesimo quindi come faccio a mostrartelo?
Se interrompessi il grafico quel minimo che basta per evidenziare il buco, sbaglierei clamorosamente perché ti mostrerei un gap infinitamente più grande di quello che dovrebbe essere.
Cordialmente, Alex
quindi anche questa $x^2 /x $ ha un buchino? Secondo Wolfram Alfa sì.
Certo che sì.
Si chiama prolungamento per continuità. Le funzioni da te citate non sono definite in \(0\), ma sono prolungabili in modo continuo in quel punto.
Se hai \[ f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto f(x)=\frac{\sin(x)}{x} \]
Allora puoi definire una funzione
\[ \tilde{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \] definita
\[ x \mapsto \tilde{f}(x) = \left\{\begin{matrix}
f(x) & \text{se}& x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \\
1& \text{se} & x = 0
\end{matrix}\right. \]
Laddove è possibile fare questo tipo di prolungamento è più naturale lavorare con \( \tilde{f} \) invece che con \(f\) poiché è più comodo, e sono sostanzialmente la medesima funzione, a meno di alcuni punti in cui la funzione originale non è definita e a costo di ridefinirla su di un sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) il tutto prende senso.
Edit: idem con \(f(x)= x^2/x \), la funzione è uguale a \( f(x)=x \) se \(x \neq 0 \), mentre non è definita se \( x= 0 \). Ma è prolungabile continuamente in zero. E il suo prolungamento è dato da
\[ x \mapsto \tilde{f}(x) = \left\{\begin{matrix}
x & \text{se}& x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \\
0& \text{se} & x = 0
\end{matrix}\right. \]
Ma in ogni caso non stai facendo alcuna divisione per zero, semplicemente definisci una nuova funzione che è uguale a quella originale nei punti laddove quest'ultima è definita e la definisci in modo appropriato (se possibile) nei punti in cui non è definita.
Se hai \[ f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} \]
\[ x \mapsto f(x)=\frac{\sin(x)}{x} \]
Allora puoi definire una funzione
\[ \tilde{f} : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \] definita
\[ x \mapsto \tilde{f}(x) = \left\{\begin{matrix}
f(x) & \text{se}& x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \\
1& \text{se} & x = 0
\end{matrix}\right. \]
Laddove è possibile fare questo tipo di prolungamento è più naturale lavorare con \( \tilde{f} \) invece che con \(f\) poiché è più comodo, e sono sostanzialmente la medesima funzione, a meno di alcuni punti in cui la funzione originale non è definita e a costo di ridefinirla su di un sottoinsieme di \( \mathbb{R} \) il tutto prende senso.
Edit: idem con \(f(x)= x^2/x \), la funzione è uguale a \( f(x)=x \) se \(x \neq 0 \), mentre non è definita se \( x= 0 \). Ma è prolungabile continuamente in zero. E il suo prolungamento è dato da
\[ x \mapsto \tilde{f}(x) = \left\{\begin{matrix}
x & \text{se}& x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \\
0& \text{se} & x = 0
\end{matrix}\right. \]
Ma in ogni caso non stai facendo alcuna divisione per zero, semplicemente definisci una nuova funzione che è uguale a quella originale nei punti laddove quest'ultima è definita e la definisci in modo appropriato (se possibile) nei punti in cui non è definita.
@3m0o: Un pollice su
Chissà se lupo grigio giracchia ancora su questo forum
Chissà se lupo grigio giracchia ancora su questo forum
capito, grazie
"Fioravante Patrone":
Chissà se lupo grigio giracchia ancora su questo forum
L'ho incrociato sulla Sila: era rinchiuso in un recinto faunistico.
"Fioravante Patrone":
@3m0o: Un pollice su
Chissà se lupo grigio giracchia ancora su questo forum
Sai che non ho capito la tua risposta
Questo 
Il resto è roba vecchia, per intenditori
Il resto è roba vecchia, per intenditori
"3m0o":
[quote="Fioravante Patrone"]@3m0o: Un pollice su
Chissà se lupo grigio giracchia ancora su questo forum
Sai che non ho capito la tua risposta
[/quote]Si vede che sei giovane...
Ok... I guess
Intanto un bertornato a fioravante!
Fa piacere rivederti sul forum.
Fa piacere rivederti sul forum.
Prolungabile per continuità vuol dire che a zero non vi arrivi mai, anche se la notazione è un po' infelice
"axpgn":
Nessun software, per quanto potente sia potrà mai farti vedere un "buco" infinitesimo.
Cordialmente, Alex
Perché non mettono una retta verticale colorata? Se il dominio è una unione finita di intervali, per esempio $(-\infty, 0)\cup (1,+\infty)$ tra zero e uno si vedrebbe una regione colorata ad indicare che lì non c'è la funzione. Se invece c'è solo un buco nel dominio si vedrebbe una retta colorata. Scusate la domanda off-topic.
@tetra
Alcuni software calcolano la funzione "dove possono" e poi interpolano i punti, quindi difficilmente ti diranno dove la funzione non è definita(i.e matlab, almeno per quanto ne so). Wolfram fa tipo la stessa cosa, però ti torna il dominio della funzione.
Alcuni software calcolano la funzione "dove possono" e poi interpolano i punti, quindi difficilmente ti diranno dove la funzione non è definita(i.e matlab, almeno per quanto ne so). Wolfram fa tipo la stessa cosa, però ti torna il dominio della funzione.
@tetravalenza
Premesso che l'esempio che hai fatto è errato (un gap finito sarà sempre possibile osservarlo, basta usare l'opportuno ingrandimento). mettere una barra verticale vorrebbe dire inserire qualcosa di estraneo al grafico nella sua rappresentazione, inoltre essendo la larghezza della barra comunque finita e non infinitesima (almeno un pixel deve essere) andresti a ricoprire una parte di grafico, che potrebbe anche essere significativa.
Come vedi, quello che conta è solo il dominio.
Peraltro questo è solo uno dei modi di "falsificare" un grafico.
Cordialmente, Alex
Premesso che l'esempio che hai fatto è errato (un gap finito sarà sempre possibile osservarlo, basta usare l'opportuno ingrandimento). mettere una barra verticale vorrebbe dire inserire qualcosa di estraneo al grafico nella sua rappresentazione, inoltre essendo la larghezza della barra comunque finita e non infinitesima (almeno un pixel deve essere) andresti a ricoprire una parte di grafico, che potrebbe anche essere significativa.
Come vedi, quello che conta è solo il dominio.
Peraltro questo è solo uno dei modi di "falsificare" un grafico.
Cordialmente, Alex
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