Luogo di zeri (funzione in due variabili)
Premessa
Il seguente non è un esercizio ma è una cosa pensata da me, quindi non dispongo di soluzioni e non garantisco nulla sull'esercizio, poù esser facile o impossibile, io mi son cimentato un po ma non ne sono uscito, tutto nasce da una curiosità personale.
Descrivere il luogo di zeri della funzione
$f(x,y)=x^y-y^x$
Le soluzioni banali sono sulla retta $x=y$ e non ci piove, ma ce ne sono di non banali come $(2,4)$ e simmetricamente $(4,2)$, da qui si potrebbe pensare di estendere con il dini, ma ne viene fuori un'equazione differenziale impossibile e soprattutto mi piacerebbe non solo determinare l'esistenza di un certo numero di zeri, ma dare la descrizione migliore possibile, magari con un'approssimazione della funzione implicita.
Il seguente non è un esercizio ma è una cosa pensata da me, quindi non dispongo di soluzioni e non garantisco nulla sull'esercizio, poù esser facile o impossibile, io mi son cimentato un po ma non ne sono uscito, tutto nasce da una curiosità personale.
Descrivere il luogo di zeri della funzione
$f(x,y)=x^y-y^x$
Le soluzioni banali sono sulla retta $x=y$ e non ci piove, ma ce ne sono di non banali come $(2,4)$ e simmetricamente $(4,2)$, da qui si potrebbe pensare di estendere con il dini, ma ne viene fuori un'equazione differenziale impossibile e soprattutto mi piacerebbe non solo determinare l'esistenza di un certo numero di zeri, ma dare la descrizione migliore possibile, magari con un'approssimazione della funzione implicita.
Risposte
credo che possa risolvere la cosa utilizzando le seguenti formule (con $a$ diverso da 1): $y=a^(a/(a-1))$ e $x=y/a$. Se poni ad esempio $a=2$ ottieni una delle soluzioni trovate.
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