Luogo dei punti nel piano complesso
Ciao, sto riprendendo in mano, dopo un po' di tempo, il mio libro di analisi matematica 1 di Marco Bramanti. Dopo avere studiato la teoria del primo capitolo relativa ai numeri, mi sono cimentato nello svolgimento degli esercizi di fine capitolo relativi ai numeri complessi. Nello specifico sto trovando alcune difficoltà nello svolgere questi esercizi riguardanti il luogo dei punti (o luogo geometrico). Di seguito la traccia dell'esercizio:
Disegnare nel piano complesso il luogo dei punti z tali che:
1) $ |z| = |z +i| $
2) $ Re(z^2) > 2 $
3) $ Im(1/z) =-1 $
Ho provato a ragionare sul punto 1) considerando le nozioni acquisite dal primo capitolo e sono arrivato a questo punto:
1) $ |z| = |z +i| -> sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(a^2 + (b + 1)^2) ->$ elevo al quadrato ambo i membri $-> a^2 + b^2 = a^2 +b^2 + 2b + 1$ che fa $b = -1/2$
Dunque per 1) il luogo dei punti è una retta parallela all'asse Reale e alla altezza $-1/2$ sull'asse immaginario.
Per il punto 2) applico più o meno le stesse considerazioni (z = a + ib) e arrivo al risultato finale:
$a^2 - b^2 > 2
Come faccio a disegnare il luogo dei punti per questa disequazione?
Tramite Desmos ho visto il risultato finale, ma vorrei capire se esiste un metodo manuale per ricavarlo (il libro non ne parla, forse è un argomento troppo elementare?).
Disegnare nel piano complesso il luogo dei punti z tali che:
1) $ |z| = |z +i| $
2) $ Re(z^2) > 2 $
3) $ Im(1/z) =-1 $
Ho provato a ragionare sul punto 1) considerando le nozioni acquisite dal primo capitolo e sono arrivato a questo punto:
1) $ |z| = |z +i| -> sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(a^2 + (b + 1)^2) ->$ elevo al quadrato ambo i membri $-> a^2 + b^2 = a^2 +b^2 + 2b + 1$ che fa $b = -1/2$
Dunque per 1) il luogo dei punti è una retta parallela all'asse Reale e alla altezza $-1/2$ sull'asse immaginario.
Per il punto 2) applico più o meno le stesse considerazioni (z = a + ib) e arrivo al risultato finale:
$a^2 - b^2 > 2
Come faccio a disegnare il luogo dei punti per questa disequazione?
Tramite Desmos ho visto il risultato finale, ma vorrei capire se esiste un metodo manuale per ricavarlo (il libro non ne parla, forse è un argomento troppo elementare?).
Risposte
Ciao Ing.Fato, benvenuto sul forum!
Sì, è un prerequisito. L'equazione $a^2-b^2=2$ è l'equazione di un'iperbole, solitamente trattata in geometria analitica durante le scuole superiori. La disequazione sono le parti di piano delimitate dai rami di tale iperbole, parti che si devono stabilire in base al verso della disequazione.
Sì, è un prerequisito. L'equazione $a^2-b^2=2$ è l'equazione di un'iperbole, solitamente trattata in geometria analitica durante le scuole superiori. La disequazione sono le parti di piano delimitate dai rami di tale iperbole, parti che si devono stabilire in base al verso della disequazione.
"Mephlip":
Ciao Ing.Fato, benvenuto sul forum!
Sì, è un prerequisito. L'equazione $a^2-b^2=2$ è l'equazione di un'iperbole, solitamente trattata in geometria analitica durante le scuole superiori. La disequazione sono le parti di piano delimitate dai rami di tale iperbole, parti che si devono stabilire in base al verso della disequazione.
Ho capito, grazie mille. Avevo intuito servissero delle basi di geometria per risolverlo, avevo trovato una soluzione approssimativa facendo alcune considerazioni sui limiti, ma immagino sia stato un caso non applicabile in generale
Prego! Sì, in generale non è abbastanza per stabilire con precisione il luogo geometrico. Comunque, (1) è stato svolto correttamente. Non ho capito se ti serve una mano anche con (3), in caso dimmelo che ti do qualche consiglio. 
"Mephlip":
Prego! Sì, in generale non è abbastanza per stabilire con precisione il luogo geometrico. Comunque, (1) è stato svolto correttamente. Non ho capito se ti serve una mano anche con (3), in caso dimmelo che ti do qualche consiglio.
Il 3) penso di averlo risolto, dovrebbe risultare in una circonferenza centrata in 1/2 e raggio 1/2, se non ho fatto errori. Il problema l'ho con le equazioni a me non più note (tipo quella della iperbole). Dovrò rimettermi a studiare anche geometria
Se intendevi "centrata in $(0,1/2)$" allora sì, è corretto!
"Mephlip":
Se intendevi "centrata in $(0,1/2)$" allora sì, è corretto!
Esatto, grazie per la conferma!
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