Lunghezze di curve

[Kif_Lame]

ciao a tutti,
ho un problema con il calcolare la lunghzza di una curva, ho due esercizi, e non mi viene nessuno dei due, cercherò di scriverli qui sotto per illustrarvelo (se ci riesco )

I problema
$x=arccost$ $y=lnt$
$x'=-1/(sqrt(1-t^2))$ $y'=1/t$

$\int_{1/2}^{1} sqrt(1/(1-t^2)+1/(t^2)) dt$=$\int_{1/2}^{1} sqrt(1/(t^2(1-t^2))) dt$=$\int_{1/2}^{1} 1/t 1/sqrt(1-t^2) dt$
$t=senx$
$dt=cosx dx$ $\int_{pi/6}^{pi/2} 1/(senx) cosx/cosx dx$=$\int_{pi/6}^{pi/2} 1/(senx) dx$
$v=tg(x/2)$ $2arctgv=x$ $dx=2dv/(1+v^2)$
$\int_{?}^{1} (1+v^2)/(1+v^2) 2/(2v) dv$=$\int_{?}^{1} dv/v$= $ln|v|$
che c'è di sbagliato?? eppure non mi viene..

II problema
$x=sent-tcost$ $y=tsent+cost$
$x'=cost+tsent$ $y'=tcost-sent$

$\int_{0}^{pi/2} sqrt(cos^2t+t^2sen^2t+2tsentcost+t^2cos^2t+sen^2t-2tsentcost) dt$=$\int_{0}^{pi/2} sqrt((cos^2t+sen^2t)+t^2(sen^2t+cos^2t) dt$= $\int_{0}^{pi/2} sqrt(1+t^2) dt$
$t=senhx$ $dt=coshx dx$
$\int_{?}^{?} cosh^2x dt$= $cosh^2x$=$(e^t/2+e^-t/2)^2$=$(e^(2t)/4+e^(-2t)/4)+2/4 e^t/e^t$=$(e^(2t)/4+e^(-2t)/4)+1/2$
=$\int_{?}^{?} cosh(2x)+1/2 dt$= $(senh(2x))/2+1/2x$

qualcuno mi aiuti please. grazie a tutti

[Lord K]

"Kif_Lame":ciao a tutti,
ho un problema con il calcolare la lunghzza di una curva, ho due esercizi, e non mi viene nessuno dei due, cercherò di scriverli qui sotto per illustrarvelo (se ci riesco )

I problema
$x=arccost$ $y=lnt$
$x'=-1/(sqrt(1-t^2))$ $y'=1/t$

$\int_{1/2}^{1} sqrt(1/(1+t^2)+1/(t^2)) dt$=$\int_{1/2}^{1} sqrt(1/(t^2(1+t^2))) dt$=$\int_{1/2}^{1} 1/t 1/sqrt(1+t^2) dt$
$t=senx$
$dt=cosx dx$ $\int_{pi/6}^{pi/2} 1/(senx) cosx/cosx dx$=$\int_{pi/6}^{pi/2} 1/(senx) dx$
$v=tg(x/2)$ $2arctgv=x$ $dx=2dv/(1+v^2)$
$\int_{?}^{1} (1+v^2)/(1+v^2) 2/(2v) dv$=$\int_{?}^{1} dv/v$= $ln|v|$
che c'è di sbagliato?? eppure non mi viene..

Prima dici che la derivata dell'arco coseno è $-1/sqrt(1-t^2)$ e poi ci metti un più nella sostituzione successiva... prova a rifare i conti

II problema
$x=sent-tcost$ $y=tsent+cost$
$x'=cost+tsent$ $y'=tcost-sent$

$\int_{0}^{pi/2} sqrt(cos^2t+t^2sen^2t+2tsentcost+t^2cos^2t+sen^2t-2tsentcost) dt$=$\int_{0}^{pi/2} sqrt((cos^2t+sen^2t)+t^2(sen^2t+cos^2t) dt$= $\int_{0}^{pi/2} sqrt(1+t^2) dt$
$t=senhx$ $dt=coshx dx$
$\int_{?}^{?} cosh^2x dt$= $cosh^2x$=$(e^t/2+e^-t/2)^2$=$(e^(2t)/4+e^(-2t)/4)+2/4 e^t/e^t$=$(e^(2t)/4+e^(-2t)/4)+1/2$
=$\int_{?}^{?} cosh(2x)+1/2 dt$= $(senh(2x))/2+1/2x$

qualcuno mi aiuti please. grazie a tutti

Analogamente la derivata di:

$x=sint - tcost$
$x'=cost + t sint - cost = t sint$

e:

$y=tsint + cost$
$y'=sint + tcost - sint = tcost$

da cui:

$\int_{0}^{pi/2} sqrt(t^2sin^2t + t^2cos^2) dt = \int_{0}^{pi/2} t dt = [t^2/2]_0^{pi/2} = pi^2/8$

[Kif_Lame]

"Lord K":

Prima dici che la derivata dell'arco coseno è $-1/sqrt(1-t^2)$ e poi ci metti un più nella sostituzione successiva... prova a rifare i conti

no no quello è un errore di battitura, come se ci fosse un meno il resto l'ho fatto pensando al meno nella radice sisi.
Grazie per avermi fatto notare l'errore madornale del secondo problema