Lunghezza Integrale curvilineo capriccioso
Mi dice di calcolare la lunghezza della seguente curva:
$y={ (x(t)=int_0^te^(4u)(e^(2u)sinu^2-cosu^2)du ),( y(t)=int_0^te^(4u)(e^(2u)cosu^2+sinu^2)du ):}$ con $u->[0,2]$
ok non sarebbe niente di difficile se non ci fosse l'integrale all'interno dell'equazioni parametriche.....
la lunghezza so che si calcola così
$ds=sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)$
ma in questo caso come si procede?! faccio prima l'integrale e poi lo derivo ?? o cosa?!
$y={ (x(t)=int_0^te^(4u)(e^(2u)sinu^2-cosu^2)du ),( y(t)=int_0^te^(4u)(e^(2u)cosu^2+sinu^2)du ):}$ con $u->[0,2]$
ok non sarebbe niente di difficile se non ci fosse l'integrale all'interno dell'equazioni parametriche.....
la lunghezza so che si calcola così
$ds=sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2)$
ma in questo caso come si procede?! faccio prima l'integrale e poi lo derivo ?? o cosa?!
Risposte
Ciao.
Per essere più precisi, l'elemento di linea $ds$ è dato da:
$ ds=sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2) *dt$
Al di là di questa precisazione, mi pare di capire che il tuo problema si riduca a come si dovrebbe calcolare l'espressione $d/(dt) [int_a^t f(u)du]$, supponendo che la funzione integranda sia continua.
Si supponga che $F(u)$ sia una primitiva (che risulta essere derivabile purchè la funzione integranda sia continua) di $f(u)$, cioè si supponga che valga: $F'(u)=f(u)$.
Allora, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, si avrebbe:
$int_a^t f(u)du=F(t)-F(a)$
Quindi:
$d/(dt) [int_a^t f(u)du]=d/(dt) [F(t)-F(a)]=F'(t)=f(t)$
A questo punto dovresti aver intuito come procedere, ammesso che io abbia compreso esattamente l'essenza del problema da te esposto.
Spero di essere stato utile.
Saluti.
Per essere più precisi, l'elemento di linea $ds$ è dato da:
$ ds=sqrt(x'(t)^2+y'(t)^2) *dt$
Al di là di questa precisazione, mi pare di capire che il tuo problema si riduca a come si dovrebbe calcolare l'espressione $d/(dt) [int_a^t f(u)du]$, supponendo che la funzione integranda sia continua.
Si supponga che $F(u)$ sia una primitiva (che risulta essere derivabile purchè la funzione integranda sia continua) di $f(u)$, cioè si supponga che valga: $F'(u)=f(u)$.
Allora, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, si avrebbe:
$int_a^t f(u)du=F(t)-F(a)$
Quindi:
$d/(dt) [int_a^t f(u)du]=d/(dt) [F(t)-F(a)]=F'(t)=f(t)$
A questo punto dovresti aver intuito come procedere, ammesso che io abbia compreso esattamente l'essenza del problema da te esposto.
Spero di essere stato utile.
Saluti.
forse ho capito avrò
$x'(t)=e^(4t)(e^(2t)sint^2-cost^2) , y'(t)=e^(4t)(e^(2t)cost^2+sint^2)$
detto in modo rozzo ho sostituito gli estremi all'interno della funzione integranda e poi ho fatto la derivata ... tutto questo senza dover svolgere prima l'integrale e poi sostituire gli estremi giusto!?
$x'(t)=e^(4t)(e^(2t)sint^2-cost^2) , y'(t)=e^(4t)(e^(2t)cost^2+sint^2)$
detto in modo rozzo ho sostituito gli estremi all'interno della funzione integranda e poi ho fatto la derivata ... tutto questo senza dover svolgere prima l'integrale e poi sostituire gli estremi giusto!?
Beh, direi che, almeno nel caso come quello qui trattato, sia sufficiente sostituire alla funzione integranda l'estremo di integrazione superiore, come poi hai effettivamente fatto.
La procedura da me illustrata serve per far vedere il motivo per cui si può procedere in quel modo, purchè, naturalmente, la funzione integranda sia continua sul proprio intervallo di integrazione.
Saluti.
La procedura da me illustrata serve per far vedere il motivo per cui si può procedere in quel modo, purchè, naturalmente, la funzione integranda sia continua sul proprio intervallo di integrazione.
Saluti.
ok ho capito gia che ci stai ti chiedo anche questo....
devo calcolar el'integrale curvilineo
$int_yycosxds$ dove y è la parte del grafico della funzione $y=sinx$ compresa tra i punti di ascisse $pi/6 , pi/3$
ho fatto anche il disegno ma come ricavo le mie equazioni parametriche?!
devo calcolar el'integrale curvilineo
$int_yycosxds$ dove y è la parte del grafico della funzione $y=sinx$ compresa tra i punti di ascisse $pi/6 , pi/3$
ho fatto anche il disegno ma come ricavo le mie equazioni parametriche?!
Vediamo...
Definendo, in $RR^2$, la curva $vecgamma (t)=(t, sint), t in [pi/6,pi/3]$.
si avrebbe:
$ds=sqrt(1+cos^2(t))*dt$
L'integrale, allora, si trasformerebbe così:
$int_yycosxds=int_{pi/6}^{pi/3}sint*cost*sqrt(1+cos^2(t))*dt$
Ricordando che:
$sint*cost=1/2sin(2t)$ (dalla formula di duplicazione del seno)
$cos^2(t)=(1+cos(2t))/2$ (dalla formula di bisezione del coseno)
si dovrebbe essere a posto.
A te l'onere dei conti.
Saluti.
Definendo, in $RR^2$, la curva $vecgamma (t)=(t, sint), t in [pi/6,pi/3]$.
si avrebbe:
$ds=sqrt(1+cos^2(t))*dt$
L'integrale, allora, si trasformerebbe così:
$int_yycosxds=int_{pi/6}^{pi/3}sint*cost*sqrt(1+cos^2(t))*dt$
Ricordando che:
$sint*cost=1/2sin(2t)$ (dalla formula di duplicazione del seno)
$cos^2(t)=(1+cos(2t))/2$ (dalla formula di bisezione del coseno)
si dovrebbe essere a posto.
A te l'onere dei conti.
Saluti.
"alessandro8":
Vediamo...
Definendo, in $RR^2$, la curva $vecgamma (t)=(t, sint), t in [pi/6,pi/3]$.
scusa da dove tiri fuori $(t)=(t, sint)$??? scusa ma chiedo come si procede non che me lo imposti e io da bravo bambino faccio i conti... vorrei capire....
Ciao.
Considerando la curva lungo la quale calcolare l'integrale, data da $y=sinx$, con $x in [pi/6,pi/3]$, questa si può parametrizzare in infiniti modi, uno dei quali è quello con cui ho provato io (semplicemente ponendo $x=t$):
${(x(t)=t),(y(t)=sint):}$, con $t in [pi/6,pi/3]$
che descrive proprio la curva in questione.
La strada da me praticata non è l'unica percorribile in assoluto e potrebbe anche non essere quella più "furba", ma è quella che è venuta in mente a me.
Spero di aver meglio chiarito.
Saluti.
Considerando la curva lungo la quale calcolare l'integrale, data da $y=sinx$, con $x in [pi/6,pi/3]$, questa si può parametrizzare in infiniti modi, uno dei quali è quello con cui ho provato io (semplicemente ponendo $x=t$):
${(x(t)=t),(y(t)=sint):}$, con $t in [pi/6,pi/3]$
che descrive proprio la curva in questione.
La strada da me praticata non è l'unica percorribile in assoluto e potrebbe anche non essere quella più "furba", ma è quella che è venuta in mente a me.
Spero di aver meglio chiarito.
Saluti.
si ora ho capito da dove esce e grazie per l'aiuto... quali altri metodi ci sono o csa dovrei pensare? puoi anche lincarmi qualche cosa e me lo faccio da solo
ok do un occhiata cmq l'integrale di prima mi esce
$1/(24)(7sqrt(7)-5sqrt(5))$
$1/(24)(7sqrt(7)-5sqrt(5))$
Non saprei pronunciarmi in merito al risultato, io non ho svolto i conti finali, mi sono limitato a indicare una possibile via risolutiva.
Comunque auguro un buon lavoro.
Vedrai che con un po' di allenamento tutto si risolverà senza problemi (o quasi...).
Saluti.
Comunque auguro un buon lavoro.
Vedrai che con un po' di allenamento tutto si risolverà senza problemi (o quasi...).
Saluti.
dimmi l'ultima cosa ho la forma differenziale
$w(x,y)=sqrt(y)/(1+x^2y)dx+x/(2sqrt(y)(1+x^2y))dy$
mi dice di determinare $int_yw$dove y è la parte di bisettrice di primo e terzo quadrante comrpesa tra i punti di ascisse 0 e 1
da come abbiamo fatto prima le mie equazione parametriche saranno
$y(t)={ ( x(t)=t ),( y(t)=t ):}$ giusto?!
$w(x,y)=sqrt(y)/(1+x^2y)dx+x/(2sqrt(y)(1+x^2y))dy$
mi dice di determinare $int_yw$dove y è la parte di bisettrice di primo e terzo quadrante comrpesa tra i punti di ascisse 0 e 1
da come abbiamo fatto prima le mie equazione parametriche saranno
$y(t)={ ( x(t)=t ),( y(t)=t ):}$ giusto?!
Devo ammettere che sono un po' arrugginito sulle forme differenziali (non le vedo da almeno venticinque anni), ma credo che la tua idea risolutiva possa funzionare, naturalmente tenendo conto che $t in [0,1]$.
L'unica è provare: per questi integrali, come per quelli più ordinari, le strategie risolutive non sono molte; spesso ci si deve affidare all'intuizione (che si sviluppa solamente grazie all'esercizio) e, a volte, bisogna andare un po' per tentativi.
Probabilmente avrei provato anch'io con la strategia da te proposta, ma finchè non si prova, non si può sapere se la strategia scelta sia, o non sia, quella giusta.
Saluti.
L'unica è provare: per questi integrali, come per quelli più ordinari, le strategie risolutive non sono molte; spesso ci si deve affidare all'intuizione (che si sviluppa solamente grazie all'esercizio) e, a volte, bisogna andare un po' per tentativi.
Probabilmente avrei provato anch'io con la strategia da te proposta, ma finchè non si prova, non si può sapere se la strategia scelta sia, o non sia, quella giusta.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo