Lunghezza di una curva in forma polare
Ciao a tutti,
volevo sapere come si fa a ricavare la formula della lunghezza di una curva in forma polare perché, facendo un esercizio, ho trasformato la curva in forma parametrica e poi ho calcolato la lunghezza con la usuale formula. Ma il risultato era decisamente errato!
In particolare la curva assegnata era la seguente:
$rho= (sinx)^2, x in[-pi,pi]$
Io ho scritto l'equazione in questa forma:
$r(x)=rho*cosx+rho*sinx , x in[-pi,pi]$
Ho il sospetto di aver sbagliato la parametrizzazione.
In ogni caso voglio sapere come, invece, si perviene alla formula adatta alle curve in forma polare, ovvero:
$L = int_-pi^pisqrt((rho'(x))^2+(rho(x))^2)dx$
In particolare mi interessa come arrivare all'argomento della radice quadrata.
Grazie a tutti anticipatamente.
volevo sapere come si fa a ricavare la formula della lunghezza di una curva in forma polare perché, facendo un esercizio, ho trasformato la curva in forma parametrica e poi ho calcolato la lunghezza con la usuale formula. Ma il risultato era decisamente errato!
In particolare la curva assegnata era la seguente:
$rho= (sinx)^2, x in[-pi,pi]$
Io ho scritto l'equazione in questa forma:
$r(x)=rho*cosx+rho*sinx , x in[-pi,pi]$
Ho il sospetto di aver sbagliato la parametrizzazione.
In ogni caso voglio sapere come, invece, si perviene alla formula adatta alle curve in forma polare, ovvero:
$L = int_-pi^pisqrt((rho'(x))^2+(rho(x))^2)dx$
In particolare mi interessa come arrivare all'argomento della radice quadrata.
Grazie a tutti anticipatamente.
Risposte
La cosa è abbastanza semplice: supponiamo di avere la forma polare per la curva $\rho=\rho(t)$ con $t\in[a,b]$. Ora, le coordinate cartesiane e quelle polari sono legate dalla relazione
$x=\rho\cos t,\qquad y=\rho\sin t$
e quindi sostituendo la precedente ottieni la forma parametrica per la curva
$x(t)=\rho(t)\cos t,\qquad y(t)=\rho(t)\sin t,\qquad t\in[a,b]$.
A questo punto per la lunghezza, partendo dalla formula per la lunghezza relativa alla parametrizzazione "classica" si ha
$L=\int_a^b\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\ dt=\int_a^b\sqrt{(\rho'\cos t-\rho\sin t)^2+(\rho'\sin t+\rho\cos t)^2}\ dt$
che, dopo un paio di calcoletti molto semplici, conduce alla formula da te cercata.
P.S.: oltre a dimostrare quella formula, il metodo seguito è quello corretto se si vuole calcolare la lunghezza per via diretta, cioè senza ricordarsi necessariamente la formula data.
$x=\rho\cos t,\qquad y=\rho\sin t$
e quindi sostituendo la precedente ottieni la forma parametrica per la curva
$x(t)=\rho(t)\cos t,\qquad y(t)=\rho(t)\sin t,\qquad t\in[a,b]$.
A questo punto per la lunghezza, partendo dalla formula per la lunghezza relativa alla parametrizzazione "classica" si ha
$L=\int_a^b\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\ dt=\int_a^b\sqrt{(\rho'\cos t-\rho\sin t)^2+(\rho'\sin t+\rho\cos t)^2}\ dt$
che, dopo un paio di calcoletti molto semplici, conduce alla formula da te cercata.
P.S.: oltre a dimostrare quella formula, il metodo seguito è quello corretto se si vuole calcolare la lunghezza per via diretta, cioè senza ricordarsi necessariamente la formula data.
Ok, perfetto!
Grazie
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