Lunghezza di una curva $C^1([a,b],\RR^N)$

[liberatorimatteo]

Buonasera, non riesco a capire questa dimostrazione: https://image.ibb.co/g4CxiH/wrfsrg.png
NOTA: con $l(\gamma,[a,x])$ si intende la lunghezza della curva associata alla restrizione di $r$ all'intervallo $[a,x]$

Ho linkato l'immagine poiché se dovessi riscriverla impiegherei molto tempo, spero non crei troppi problemi
Non mi è chiara la conclusione (dopo la riga rossa)... Il mio obbiettivo era dimostrare l'altra disuguaglianza, ossia

$ l(\gamma)>= \int_a^b||r'(t)||dt $

Ma non vedo dove questo è stato dimostrato...

Mi è stato suggerito come affrontare il problema sotto spoiler, quindi mi servirebbe solo una indicazione riguardo alla dimostrazione suddetta

Inoltre ho un'altra domanda, non se se è necessario aprire un altro topic ma spero non serva:
Da questo risultato posso dimostrare che la lunghezza di una curva di classe $C^1$ non dipende dalla parametrizzazione scelta, e questo mi è chiaro. Ora mi chiedo:

In generale la lunghezza di una curva qualsiasi dipende dalla parametrizzazione scelta?

Penso di no, altrimenti la definizione di lunghezza non credo sia una buona definizione, ma come posso farlo vedere?

Grazie a tutti

[killing_buddha]

In generale la lunghezza di una curva qualsiasi dipende dalla parametrizzazione scelta?

Chiaramente si', prendi $S^1$ parametrizzato da \(t\mapsto (\cos t, \sin t)\) su $[0,2\pi]$; ora prendila parametrizzata da \(t\mapsto (\cos 100 t, \sin 100 t)\) su $[0, 200\pi]$; fai i due integrali. Viene uguale?

[liberatorimatteo]

"killing_buddha":Chiaramente si', prendi $S^1$ parametrizzato da \(t\mapsto (\cos t, \sin t)\) su $[0,2\pi]$; ora prendila parametrizzata da \(t\mapsto (\cos 100 t, \sin 100 t)\) su $[0, 200\pi]$; fai i due integrali. Viene uguale?

Scusami, forse sono scemo io ma io non trovo alcun cambiamento regolare di parametro tra queste due parametrizzazioni. Suppongo che non siano equivalenti... Ti spiego il mio ragionamento:

Siano $r_1:[0,2\pi]->\RR^2$ e $r_2:[0,200\pi]->\RR^2$ le due parametrizzazioni da te suggeritemi, quindi

$r_1(t)=(cos(t),sin(t))$ e $r_2(t)=(cos(100t),sin(100t))$

Se fossero equivalenti dovrebbe esistere una funzione $\varphi: [0,200\pi]->[0,2\pi]$ tale che:

$\varphi$ è biettiva
$\varphi'(t)\ne0 \forallt\in[0,200\pi]$
$\varphi\inC^1([0,200\pi],[0,2\pi]$
$r_2(t)=r_1(\varphi(t)) \forallt\in[0,200\pi]$

Pensavo che tale $\varphi$ fosse $\varphi(t)=t/100$ ma chiaramente tale $\varphi$ non soddisfa la quarta proprietà...

[killing_buddha]

Ah, certo, con una definizione di equivalenza di parametrizzazioni così rigida no che non sono equivalenti.

[dissonance]

"Freebulls":

In generale la lunghezza di una curva qualsiasi dipende dalla parametrizzazione scelta?

Se rinunci alla classe C^1 l'unica condizione che imponi sulla tua curva è di essere rettificabile. Le funzioni con questa proprietà si chiamano "a variazione limitata". Con questa domanda ti addentri in quel mondo lì. La risposta sarà sicuramente in qualche libro sulle proprietà fini delle funzioni, come per esempio "A first course in Sobolev spaces" di Giovanni Leoni.

[liberatorimatteo]

"dissonance":[quote="Freebulls"]Se rinunci alla classe C^1 l'unica condizione che imponi sulla tua curva è di essere rettificabile. Le funzioni con questa proprietà si chiamano "a variazione limitata". Con questa domanda ti addentri in quel mondo lì. La risposta sarà sicuramente in qualche libro sulle proprietà fini delle funzioni, come per esempio "A first course in Sobolev spaces" di Giovanni Leoni.

[/quote]
Ah! sicuramente è interessante ma pensavo che la cosa fosse molto più semplice
Grazie mille, magari in futuro approfondirò l'argomento ma per ora devo concentrarmi sull'esame di Analisi 3... Quindi lasciamo da parte questa mia domanda. Sono più interessato alla prima richiesta del post, ossia la spiegazione di quelle ultime righe di dimostrazione

[dissonance]

Sono d'accordo con la tua decisione. Comunque, sicuramente la cosa sarà semplice, in fin dei conti. Sono ragionevolmente sicuro che se \(\gamma\colon [a, b]\to \mathbb R^N\) è una curva rettificabile allora esiste una successione \(\gamma_n\in C^1([a, b];\mathbb R^N)\) tale che \(\gamma_n\to \gamma\) uniformemente su \([a, b]\). In particolare la lunghezza di \(\gamma\) è il limite delle lunghezze di \(\gamma_n\). Siccome queste ultime sono tutte invarianti per riparametrizzazione, e siccome la riparametrizzazione preserva la convergenza uniforme, pure la lunghezza di \(\gamma\) è invariante per riparametrizzazione.