Lunghezza di una curva [Analisi II]

[Greatkekko]

Buongiorno,
scrivo per chiedere lumi riguardo ad un concetto che temo non aver capito molto bene:

quando noi "parametrizziamo" una curva, non facciamo altro che trovare una funzione che, tramite una corrispondenza biunivoca, associ a dei punti contenuti in un intervallo $[a,b]$ di $R$, dei punti dello spazio (o del piano) che andranno a costituire la curva.
Convenzionalmente chiameremo questa funzione parametrica $p(t)$, dove $t$ sarà il parametro che avrà la "libertà" di spaziare in $[a,b]$ appartenente ad $R$. Tutto giusto, fin qui??

Ora, per calcolare la lunghezza della curva $gamma$, possiamo anche considerare direttamente la lunghezza dell'intervallo $[a,b]$, o sarebbe un abuso?

Dopotutto ad un punto qualunque di quest'intervallo potrà corrispondere un unico punto di $gamma$, e viceversa, quindi credo che questi due insiemi unidimensionali di punti possano considerarsi della stessa lunghezza.

C'ho capito qualcosa, o sto solo facendo un ENORME buco nell'acqua?

Grazie a chiunque avrà la pazienza di aiutarmi,
Francesco.

[edge1]

Ora, per calcolare la lunghezza della curva γ, possiamo anche considerare direttamente la lunghezza dell'intervallo [a,b], o sarebbe un abuso?

Cosa intendi???
Ricordo che la lunghezza $L$ di una curva ,sia $y$ è per definizione uguale a:
estremo superiore di $ (P(\epsilon))$ ove con $P(\epsilon)$ intendo la lunghezza di una qualunque poligonale inscritta sulla curva stessa.