Lunghezza di una curva
Salve a tutti, questa volta è una curva a mettermi fuori gioco, è parte di una simulazione d'esame. Bisogna calcolare la lungheza della curva di equazioni parametriche:
$ \gamma = { ( x = 1/t ),( y=e^(2t) ),( z = int_1^t 2e^(tu)/udu ):} $
Caso vuole che la coordinata $z$ non sia esprimibeile in forma elementare ( -.- ). Mi torna utile allora la formula data dal professore secondi cui:
$F(t,x,y) = int_x^y f(t,u)du$
$\frac {dF(t,x,y)}{dt} = \frac {del F}{del t} - \frac{ del F}{delx} x'(t) + \frac{del F}{del y} y'(t) = int_x^y \frac{ del f(t,u)}{del t}du - f(t,x)x'(t) + f(t,y)y'(t)$
Mi confermate? Secondo questa formula avrei che:
$ D ( int_1^t (2e^(tu)/udu ) ) = 2 [e^(ut)/t]_1^t + 2e^(t^2)/t $
Potete intanto confermarmi fino a qui? Il problema è che dopo calcolando la lunghezza della curva come $ | \gamma | = int_a^b || \gamma'(t) || $ viene fuori una cosa paurosa :\
$ \gamma = { ( x = 1/t ),( y=e^(2t) ),( z = int_1^t 2e^(tu)/udu ):} $
Caso vuole che la coordinata $z$ non sia esprimibeile in forma elementare ( -.- ). Mi torna utile allora la formula data dal professore secondi cui:
$F(t,x,y) = int_x^y f(t,u)du$
$\frac {dF(t,x,y)}{dt} = \frac {del F}{del t} - \frac{ del F}{delx} x'(t) + \frac{del F}{del y} y'(t) = int_x^y \frac{ del f(t,u)}{del t}du - f(t,x)x'(t) + f(t,y)y'(t)$
Mi confermate? Secondo questa formula avrei che:
$ D ( int_1^t (2e^(tu)/udu ) ) = 2 [e^(ut)/t]_1^t + 2e^(t^2)/t $
Potete intanto confermarmi fino a qui? Il problema è che dopo calcolando la lunghezza della curva come $ | \gamma | = int_a^b || \gamma'(t) || $ viene fuori una cosa paurosa :\
Risposte
ma perchè cerchi una primitiva? non mi pare che serva, la lunghezza della curva è l'integrale della velocità scalare (cioè prendi la norma della velocità vettoriale e la integri)
Mmm... aspetta in questo esercizio ci sono un paio di integrali. Se ti riferisci all'ultimo, ovvero all'integrale della norma del gradiente, beh non devo poi calcolarmi la primitiva? Se no come calcolo l'integrale definito?
Il discorso precedente invece nasce dal fatto che la z è definita come l'integrale definito di una funzione non integrabile elementarmente, e quindi la derivata si dovrebbe calcolare in quel modo 8 se non ho sbagliato )
Il discorso precedente invece nasce dal fatto che la z è definita come l'integrale definito di una funzione non integrabile elementarmente, e quindi la derivata si dovrebbe calcolare in quel modo 8 se non ho sbagliato )
intendevo perchè cerchi una primitiva di z, visto che a te interessa la derivata che è $ 2 e^(t^2) / t $.
comunque hai ragione che viene una cosa schifosissima poi la norma.. sto vedendo di farla ma dubito di riuscire
comunque hai ragione che viene una cosa schifosissima poi la norma.. sto vedendo di farla ma dubito di riuscire
Eh il fatto è che non sapevo come derivare un'integrale, purtroppo durante l'analisi 1 non abbiamo approfonito questo tipo di esercizi quindi ho un paio di lacune in questo campo. Comunque mi fa piacere che abbiamo ottenuto lo stesso risultato.
Pensavo che il problema fosse quel pezzo, invece allora è proprio l'esercizio rognoso, appena ho visto la norma mi sono spaventato non poco :\
Pensavo che il problema fosse quel pezzo, invece allora è proprio l'esercizio rognoso, appena ho visto la norma mi sono spaventato non poco :\
per fare la derivata di una funzione integrale basta che pensi alla definizione:
$d / dx \int_(a)^(x) f(t) dt = d / dx (F(x) - F(a)) = d / dx F(x) = f(x) $
..scusa ma poi gli estremi quali sono?
$d / dx \int_(a)^(x) f(t) dt = d / dx (F(x) - F(a)) = d / dx F(x) = f(x) $
..scusa ma poi gli estremi quali sono?
Scusate se mi intrometto ma nella $z$ la $t$ è anche nella funzione integranda quindi le cose si modificano un pochino;
Dovrebbe essere così (sottolineo il dovrebbe):
$d/(dt) int_1^t 2(e^(tu))/u du = 2 (e^t)/t$
(http://en.wikipedia.org/wiki/Differenti ... egral_sign)
In questa maniera le cose si semplificano molto perchè la norma al quadrato diviene un quadrato notevole
Dovrebbe essere così (sottolineo il dovrebbe):
$d/(dt) int_1^t 2(e^(tu))/u du = 2 (e^t)/t$
(http://en.wikipedia.org/wiki/Differenti ... egral_sign)
In questa maniera le cose si semplificano molto perchè la norma al quadrato diviene un quadrato notevole
no, il t all'esponente è elevato al quadrato
Ok sono daccordo che ho scritto una cosa su cui mi sto ricredendo;
ma perchè la derivata è quella che scrivi te se abbiamo
$int_1^t f(t,u) du$
ma perchè la derivata è quella che scrivi te se abbiamo
$int_1^t f(t,u) du$
devi vedere t come un parametro, non come una variabile (o almeno questo è il mio modo di vedere)
[edit] sai che mi hai fatto venire il dubbio.. ora controllo che non sia come dici tu
[edit] sai che mi hai fatto venire il dubbio.. ora controllo che non sia come dici tu
"enr87":
devi vedere t come un parametro, non come una variabile (o almeno questo è il mio modo di vedere)
[edit] sai che mi hai fatto venire il dubbio.. ora controllo che non sia come dici tu
Anche io l'ho considerato come parametro, perchè stiamo integrando rispetto ad $u$ :\
@dajeforte: avevi ragione. comunque allora la derivata corretta era quella di pater46, ma resta un casino lo stesso..
@pater46: no ma tu hai applicato la formula corretta
@pater46: no ma tu hai applicato la formula corretta
Ok fermi tutti, il mio professore aveva sbagliato. L'estremo dell'integrale di z è $1/t$ e non $t$ -.-
Voglia di uccidereeee!
Voglia di uccidereeee!
uccidilo anche da parte mia!
Ok
Io prima avevo sbagliato un segno; però avevo fatto una cosa , che mi pare ha fatto anche pater46, che ora mi fa venire qualche dubbio.
Dove pater46 (nel primo post) ha scritto $D ( int_1^t (2e^(tu)/udu ) ) = 2 [e^(ut)/t]_1^t + 2e^(t^2)/t$ applicando la formula (non so come si chiama diciamo integrale)
quel $2[(e^(ut))/t]_1^t$ proverrebbe da :$int_1^t2 e^(tu)du$;
questo mi lascia ancora qualche dubbio;
mi sono un attimo perso, se mi date un po' di luce...
Provo un attimo a ridire:
consideriamo $int_1^t 2e^(ku)du=2/k(e^(kt)-e^k)$ e se lo deriviamo (come da teorema fondamentale del calcolo integrale) otteniamo $2e^(kt)$;
se invece applichiamo la stessa cosa brutalmente a $int_1^t 2e^(tu)du=2/t(e^(t^2)-e^t)$, mi lascia perplesso
Io prima avevo sbagliato un segno; però avevo fatto una cosa , che mi pare ha fatto anche pater46, che ora mi fa venire qualche dubbio.
Dove pater46 (nel primo post) ha scritto $D ( int_1^t (2e^(tu)/udu ) ) = 2 [e^(ut)/t]_1^t + 2e^(t^2)/t$ applicando la formula (non so come si chiama diciamo integrale)
quel $2[(e^(ut))/t]_1^t$ proverrebbe da :$int_1^t2 e^(tu)du$;
questo mi lascia ancora qualche dubbio;
mi sono un attimo perso, se mi date un po' di luce...
Provo un attimo a ridire:
consideriamo $int_1^t 2e^(ku)du=2/k(e^(kt)-e^k)$ e se lo deriviamo (come da teorema fondamentale del calcolo integrale) otteniamo $2e^(kt)$;
se invece applichiamo la stessa cosa brutalmente a $int_1^t 2e^(tu)du=2/t(e^(t^2)-e^t)$, mi lascia perplesso
ho provato a fare una piccola dimostrazione del teorema, prova a vedere se riesci a risolvere il tuo problema. buttando l'occhio credo che confondi le derivate.. più che altro mi pare l'unico errore possibile in una situazione come questa.
calcoliamo la derivata rispetto a t della funzione $ \int_{a(t)}^{b(t)} f(t,u) du $
poniamo $ F_u (t,u) := f(t,u) $: questa scelta è giustificata dal fatto che f(t,u) viene integrata rispetto alla variabile u, per cui possiamo supporre che esista F tale che $partial_u F(t,u) = F_u(t,u) = f(t,u) $. questa scrittura tornerà comoda per una questione di chiarezza poi.
allora, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, abbiamo:
$ \int_{a(t)}^{b(t)} f(t,u) du = \int_{a(t)}^{b(t)} F_u(t,u) du = F(t,a(t)) - F(t,b(t)) $
deriviamo rispetto a t l'ultima espressione, ricordando la formula di derivazione per funzioni composte: $ d / dt F(gamma(t)) = < grad F(gamma(t)), gamma'(t) >.
otteniamo:
$ partial_t (F(t,a(t)) - F(t,b(t))) = <\grad F(t,b(t)), (1, b'(t))> - <\grad F(t,a(t)), (1, a'(t))> =
$ partial_t F(t,b) + partial_u F(t,b)b'(t) - partial_t F(t,a) - partial_u F(t,a)a'(t) =
$ partial_t (F(t,b) - F(t,a)) + partial_u F(t,b)b'(t) - partial_u F(t,a)a'(t) =
$ d / dt \int_{a(t)}^{b(t)}partial_u F du + partial_u F(t,b)b'(t) - partial_u F(t,a)a'(t) = d / dt \int_{a(t)}^{b(t)} f(t,u) du + f(t,b)b'(t) - f(t,a)a'(t)
quest'ultima è la formula cercata
[edit] ho riguardato meglio la tua domanda, forse ora ho capito: a te pare strano che se derivi $ 2/t (e^(t^2) - e^t) $ non ti viene fuori la funzione integranda? in questo caso la risposta è nella dimostrazione (il fatto è che la t e la u si "confondono", perchè uno degli estremi di integrazione è funzione di t)
calcoliamo la derivata rispetto a t della funzione $ \int_{a(t)}^{b(t)} f(t,u) du $
poniamo $ F_u (t,u) := f(t,u) $: questa scelta è giustificata dal fatto che f(t,u) viene integrata rispetto alla variabile u, per cui possiamo supporre che esista F tale che $partial_u F(t,u) = F_u(t,u) = f(t,u) $. questa scrittura tornerà comoda per una questione di chiarezza poi.
allora, per il teorema fondamentale del calcolo integrale, abbiamo:
$ \int_{a(t)}^{b(t)} f(t,u) du = \int_{a(t)}^{b(t)} F_u(t,u) du = F(t,a(t)) - F(t,b(t)) $
deriviamo rispetto a t l'ultima espressione, ricordando la formula di derivazione per funzioni composte: $ d / dt F(gamma(t)) = < grad F(gamma(t)), gamma'(t) >.
otteniamo:
$ partial_t (F(t,a(t)) - F(t,b(t))) = <\grad F(t,b(t)), (1, b'(t))> - <\grad F(t,a(t)), (1, a'(t))> =
$ partial_t F(t,b) + partial_u F(t,b)b'(t) - partial_t F(t,a) - partial_u F(t,a)a'(t) =
$ partial_t (F(t,b) - F(t,a)) + partial_u F(t,b)b'(t) - partial_u F(t,a)a'(t) =
$ d / dt \int_{a(t)}^{b(t)}partial_u F du + partial_u F(t,b)b'(t) - partial_u F(t,a)a'(t) = d / dt \int_{a(t)}^{b(t)} f(t,u) du + f(t,b)b'(t) - f(t,a)a'(t)
quest'ultima è la formula cercata
[edit] ho riguardato meglio la tua domanda, forse ora ho capito: a te pare strano che se derivi $ 2/t (e^(t^2) - e^t) $ non ti viene fuori la funzione integranda? in questo caso la risposta è nella dimostrazione (il fatto è che la t e la u si "confondono", perchè uno degli estremi di integrazione è funzione di t)
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