Lunghezza di una curva
Ciao, l'esercizio mi chiede di determinare la lunghezza della curva:
$ { ( x(t)=e^t ),( y(t)=t ):} t\in [0,1] $
Allora ho pensato di ricondurmi ad una curva grafico di equazioni:
$ { ( x(t)=t ),( y(t)=logt ):} t\in [1,e] $
Prima domanda: penso che calcolare la lunghezza dell'una o dell'altra sia indifferente, dico giusto? In particolare, avrei:
$ int_(1)^(e) sqrt(1+1/t^2) dt $ , che integro per parti, ottenendo:
$ [tsqrt(1+1/t^2) + int_()^() 1/(tsqrt(t^2+1)) dt ] $.
Ora ho un dubbio: per risolvere il secondo integrale, va bene $ z=sqrt(1+t^2) $ come sostituzione? Grazie!
$ { ( x(t)=e^t ),( y(t)=t ):} t\in [0,1] $
Allora ho pensato di ricondurmi ad una curva grafico di equazioni:
$ { ( x(t)=t ),( y(t)=logt ):} t\in [1,e] $
Prima domanda: penso che calcolare la lunghezza dell'una o dell'altra sia indifferente, dico giusto? In particolare, avrei:
$ int_(1)^(e) sqrt(1+1/t^2) dt $ , che integro per parti, ottenendo:
$ [tsqrt(1+1/t^2) + int_()^() 1/(tsqrt(t^2+1)) dt ] $.
Ora ho un dubbio: per risolvere il secondo integrale, va bene $ z=sqrt(1+t^2) $ come sostituzione? Grazie!
Risposte
Io da queste situazioni me ne esco spesso con la sostituzione $t=tanz$
Ciao, grazie per la risposta. Seguendo il tuo consiglio, ottengo:
$ int_()^() 1/(tsqrt(t^2+1)) dt = int_()^() sqrt(tg^2z+1)/(tgz) dz $
Arrivato qui, però, non saprei come proseguire. Integrare per parti mi sembra inutile...
$ int_()^() 1/(tsqrt(t^2+1)) dt = int_()^() sqrt(tg^2z+1)/(tgz) dz $
Arrivato qui, però, non saprei come proseguire. Integrare per parti mi sembra inutile...
"Robert96":
Ciao, grazie per la risposta. Seguendo il tuo consiglio, ottengo:
$ int_()^() 1/(tsqrt(t^2+1)) dt = int_()^() sqrt(tg^2z+1)/(tgz) dz $
Arrivato qui, però, non saprei come proseguire. Integrare per parti mi sembra inutile...
e sei ad un passo dalla fine
considera che la sostituzione $t=tanz$ la consideriamo con $zin]-pi/2,pi/2[-{0}$ così è invertibile ed inoltre il condominio è tutto $RR$, quindi $tinRR-{0}$
$sqrt(tan^2z+1)=sqrt(sec^2z)=|secz|$ ma la secante è strettamente positiva su $]-pi/2,pi/2[-{0}$
allora $|secz|=secz, forallzin]-pi/2,pi/2[$
$int(secz)/(tanz)dz => int 1/cosz*1/(sinz/cosz)dz => int1/sinzdz$
NB: ho tolto lo $0$ perché a priori la $t$ non doveva essere $0$, quindi anche questo fila
Quindi, ricapitolando:
$ int_()^() 1/(t(t^2+1)^(1/2)) dt = int_()^() sqrt(tg^z+1)/(tgz) dz = int_()^() 1/sinz dx $
Per calcolare l'ultimo integrale ho moltiplicato e diviso per $ sinz $, ottenendo: $ int_()^() sinz/(1-cos^2z) dx $.
Sostituisco $ y=cosz $ e risolvo l'integrale: $ 1/2log|(cosz-1)/(1+cosz)| $. Allora tutto l'integrale, risolto, si può scrivere come:
$ tsqrt(1+1/t^2)+1/2log|(cosarctant-1)/(1+cosarctant)| $
E' svolto bene? Grazie mille per l'aiuto!
$ int_()^() 1/(t(t^2+1)^(1/2)) dt = int_()^() sqrt(tg^z+1)/(tgz) dz = int_()^() 1/sinz dx $
Per calcolare l'ultimo integrale ho moltiplicato e diviso per $ sinz $, ottenendo: $ int_()^() sinz/(1-cos^2z) dx $.
Sostituisco $ y=cosz $ e risolvo l'integrale: $ 1/2log|(cosz-1)/(1+cosz)| $. Allora tutto l'integrale, risolto, si può scrivere come:
$ tsqrt(1+1/t^2)+1/2log|(cosarctant-1)/(1+cosarctant)| $
E' svolto bene? Grazie mille per l'aiuto!
Yes però potresti portarti un passo avanti.
$z=arctant <=> cosz=cos(arctant), foralltinRRsetminus{0}$
Quindi siamo ritornati nella nostra variabile di partenza.
Consideriamo adesso la funzione:
$cos(arctant)=y <=> t=tan(arccosy) <=> t=sqrt(1-y^2)/y <=> y=1/sqrt(t^2+1),tinRRsetminus{0} $
quindi alla fine ottieni qualcosa di più pulito:
Se noti lo $0$ che abbiamo tolto all'inizio, ce lo trasciniamo ancora. Infatti:
$F(0)=1/2ln|(1-1)/(1+1)|=[1/2ln|0/2|]$ e possiamo lasciarlo tolto.
Ovviamente ho tenuto solo conto dell'integrale in cui spero di averti aiutato
però potresti portarti un passo avanti.$z=arctant <=> cosz=cos(arctant), foralltinRRsetminus{0}$
Quindi siamo ritornati nella nostra variabile di partenza.
Consideriamo adesso la funzione:
$cos(arctant)=y <=> t=tan(arccosy) <=> t=sqrt(1-y^2)/y <=> y=1/sqrt(t^2+1),tinRRsetminus{0} $
quindi alla fine ottieni qualcosa di più pulito:
$F(t)=1/2ln|(1-sqrt(1+t^2))/(1+sqrt(1+t^2))|+c, tinRRsetminus{0}$
Se noti lo $0$ che abbiamo tolto all'inizio, ce lo trasciniamo ancora. Infatti:
$F(0)=1/2ln|(1-1)/(1+1)|=[1/2ln|0/2|]$ e possiamo lasciarlo tolto.
Ovviamente ho tenuto solo conto dell'integrale in cui spero di averti aiutato
"anto_zoolander":
$cos(arctant)=y <=> t=tan(arccosy) <=> t=sqrt(1-y^2)/y <=> y=1/sqrt(t^2+1),tinRRsetminus{0} $
Forse mi sono perso qualche formula trigonometrica per strada...mi spiegheresti come sei passato dalla seconda uguaglianza alla terza?
Certamente
$y=cos(arctanx)$
Questa finzione è definita come $f:RR->(0,1]$ ti metto sotto spoiler il perché, nel caso ti interessi.
ora consideriamo $y=cos(arctanx)$ non vogliamo invertirla, ma solo ricavare qualcosa, quindi non c'è bisogno che la rendiamo biettiva, perchè di fatto non lo è(perché il coseno su $(-pi/2,pi/2)->(0,1]$ non è iniettivo).
$arccosy=arctanx$ e $tan(arccosy)=x$
ora scriviamo l'ultima cosa come:
$sin(arccosy)/cos(arccosy)=sqrt(1-(cos(arccosy))^2)/cos(arccosy)$
ora già digerire una composizione ok, ma pure altre mi sembra cattiveria scriverle..
$x=sqrt(1-y^2)/y$ ora cerchi di tornare alla tua $x$
$x^2*y^2=1-y^2$ ... $y^2(x^2+1)=1$
$y=pm1/sqrt(x^2+1)$
ma $yin(0,1]$ quindi positivo
Infatti se scegliessimo ad esempio $x=1$
$arctan(1)=pi/4$ ... $cos(pi/4)=sqrt2/2$
$1/sqrt(1+1^2)=1/sqrt2$ ovvero $sqrt2/2$
$y=cos(arctanx)$
Questa finzione è definita come $f:RR->(0,1]$ ti metto sotto spoiler il perché, nel caso ti interessi.
ora consideriamo $y=cos(arctanx)$ non vogliamo invertirla, ma solo ricavare qualcosa, quindi non c'è bisogno che la rendiamo biettiva, perchè di fatto non lo è(perché il coseno su $(-pi/2,pi/2)->(0,1]$ non è iniettivo).
$arccosy=arctanx$ e $tan(arccosy)=x$
ora scriviamo l'ultima cosa come:
$sin(arccosy)/cos(arccosy)=sqrt(1-(cos(arccosy))^2)/cos(arccosy)$
ora già digerire una composizione ok, ma pure altre mi sembra cattiveria scriverle..
$x=sqrt(1-y^2)/y$ ora cerchi di tornare alla tua $x$
$x^2*y^2=1-y^2$ ... $y^2(x^2+1)=1$
$y=pm1/sqrt(x^2+1)$
ma $yin(0,1]$ quindi positivo
$y=1/sqrt(1+x^2)$
In particolare
$1/sqrt(1+x^2)=cos(arctanx), forallx inRR, forally in(0,1]$
In particolare
$1/sqrt(1+x^2)=cos(arctanx), forallx inRR, forally in(0,1]$
Infatti se scegliessimo ad esempio $x=1$
$arctan(1)=pi/4$ ... $cos(pi/4)=sqrt2/2$
$1/sqrt(1+1^2)=1/sqrt2$ ovvero $sqrt2/2$
Grazie per la spiegazione molto chiara (e anche per l'approfondimento sulla composizione). Davvero una bella fatica quest'integrale!
Di nulla
Alla fine basta capirlo la prima volta, poi viene da se.
Alla fine basta capirlo la prima volta, poi viene da se.
Giusto per proporre un'alternativa, messa la relazione nella forma: $x=e^y$ hai:
che con la sostituzione: $1+e^(2y)=z^2$ diventa:
avendo calcolato il secondo termine dell'ultimo integrale mediante scomposizione in fratti semplici. Salvo miei errori.
$L=int_0^1sqrt(1+e^(2y))dy$ ,
che con la sostituzione: $1+e^(2y)=z^2$ diventa:
$L=int_sqrt(2)^sqrt(1+e^2)z^2/(z^2-1)dz=int_sqrt(2)^sqrt(1+e^2)(1+1/(z^2-1))dz=(z+1/2ln|(z-1)/(z+1)|)|_sqrt(2)^sqrt(1+e^2)$,
avendo calcolato il secondo termine dell'ultimo integrale mediante scomposizione in fratti semplici. Salvo miei errori.
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