Lunghezza di una curva

[Alpha881]

Buon giorno a tutti. Ho il seguente esercizio

Data la curva $gamma$ di equazione polare $rho=2cos^2theta$ con $theta in [-pi/2 , pi/2]$

calcolare la lunghezza di $gamma$

Io l'ho svolto come segue ma credo di aver sbagliato qualche passaggio. Spero che qualcuno possa aiutarmi. Grazie

La lunghezza di una curva con equazione polare è data dalla formula

$l=int_a^b sqrt[(rho')^2theta+rho^2theta] d theta $

Mi calcolo la derivata $rho'=-4costhetasintheta$

Allora l'integrale diventa

$l=int_(-pi/2)^(pi/2) sqrt[(-4costhetasintheta)^2+(2costheta)^2] d theta$

Svolgo i quadrati e metto in evidenza


$l=int_(-pi/2)^(pi/2) sqrt[16cos^2thetasin^2theta+4cos^4theta] d theta$

$l=int_(-pi/2)^(pi/2) sqrt[4cos^2theta(4sin^2theta+cos^2theta)]$

A questo punto credo di commettere un errore.

$4sin^2theta+cos^2theta=1$?

Io ho posto $4sin^2theta+cos^2theta=1$ e mi trovo

$l=int_(-pi/2)^(pi/2) sqrt[4cos^2theta]$

$l=int_(-pi/2)^(pi/2) 2costheta d theta = 2[sintheta]_(pi/2)^(-pi/2)$

Considerando che $sin(pi/2)=1$

$2[sintheta]_(pi/2)^(-pi/2)=2(-1-1)=4$


Scusate per tutti questi passaggi ma volevo far vedere come ho svolto l'intero esercizio

[theras]

Escludendo la formula di partenza,che hai usato correttamente(ma non scritto altrettanto bene..),
errori di conto ce ne sono
(legati a quella tua congettura,inesatta come puoi vedere ponendo ad esempio $theta=pi/3$,
su come possa esser generalizzata la formula fondamentale della Trigonometria..);
vedi se riesci ad evitarli scrivendo quell'equazione polare nella forma $rho=(1+"cos"2theta)$,
giustificabile attraverso le formule di duplicazione del coseno:
ad un certo punto,ad occhio,
dovresti trovarti di fronte all'integrale definito della radice quadrata d'un polinomio quadratico in $"cos"2theta$,
che potrai determinare coi metodi tipici(e tipicamente "calcolosi" )di questa classe di funzioni.
Saluti dal web.

[Alpha881]

Ok grazie adesso provo e vediamo un pò come uscire fuori da questo esercizio!