Lunghezza di una curva
ho questo quesito
La lunghezza di una curva $y= f(x)$, $x in [0,b]$ è sempre minore di $1$ se be è minore di 1?
Non saprei da dove cominciare per rispondere, so che la formula per la lunghezza è
$L(gamma) = int_0^b sqrt(1 + f(x)') dx$
ma oltre a questo non saprei cosa fare...
La lunghezza di una curva $y= f(x)$, $x in [0,b]$ è sempre minore di $1$ se be è minore di 1?
Non saprei da dove cominciare per rispondere, so che la formula per la lunghezza è
$L(gamma) = int_0^b sqrt(1 + f(x)') dx$
ma oltre a questo non saprei cosa fare...
Risposte
"Mrs92":
ho questo quesito *
La lunghezza di una curva $y= f(x)$, $x in [0,b]$ è sempre minore di $1$ se be è minore di 1?
Direi di no, proviamo con $f(x)=3x$ (è una retta con coefficiente angolare 3) proviamo a vedere quanto è lungo il segmento compreso tra $O(0; f(0))$ e $P(0,5; f(0,5))$,
$0,5<1$ no?
* come mai questa domanda?
sta in un quesito vero/falso su esempi di test di esame---
ok in questo caso dovrebbe venire uno $sqrt(10)/2$ ho fatto i conti a mente, spero siano giusti
speravo ci fosse un metodo generale per capirlo...
se la domanda fosse stata invece:
La lunghezza di una curva $y= f(x)$, $x in [0,b]$ è sempre maggiore di $1$ se be è maggiore di 1?
ci sarebbe un modo sistematico per dire che non esistono funzioni tali che la lunghezze in quell'intervallo sia minore di uno?
ok in questo caso dovrebbe venire uno $sqrt(10)/2$ ho fatto i conti a mente, spero siano giusti
speravo ci fosse un metodo generale per capirlo...
se la domanda fosse stata invece:
La lunghezza di una curva $y= f(x)$, $x in [0,b]$ è sempre maggiore di $1$ se be è maggiore di 1?
ci sarebbe un modo sistematico per dire che non esistono funzioni tali che la lunghezze in quell'intervallo sia minore di uno?
Intanto credo che l'integrale sia sbagliato, penso sia questo:
Se supponiamo che la curva sia regolare, allora direi così:
L'ultimo integrale è sicuramente positivo, in quanto se supponiamo che la curva sia regolare, vuol dire che sicuramente in $[0,b]$ è diversa da $0$ eccetto al più dei punti singoli. Quindi l'ultimo membro è sicuramente $=b+M$, con $M\inRR^(++)$.
Se $b>1$ la lunghezza sarà maggiore di $1$, sperando che il mio ragionamento sia corretto!
$\int_{0}^bsqrt(1+[f'(x)]^2)dx$
Se supponiamo che la curva sia regolare, allora direi così:
$|\int_{0}^bsqrt(1+[f'(x)]^2)dx|<=\int_{0}^b|sqrt(1+[f'(x)]^2)|dx<=\int_{0}^b|1+[f'(x)]^2|dx=$
$=\int_{0}^b1+[f'(x)]^2dx=\int_{0}^bdx+\int_{0}^b[f'(x)]^2dx=b+\int_{0}^b[f'(x)]^2dx$.
L'ultimo integrale è sicuramente positivo, in quanto se supponiamo che la curva sia regolare, vuol dire che sicuramente in $[0,b]$ è diversa da $0$ eccetto al più dei punti singoli. Quindi l'ultimo membro è sicuramente $=b+M$, con $M\inRR^(++)$.
Se $b>1$ la lunghezza sarà maggiore di $1$, sperando che il mio ragionamento sia corretto!
Ciao Demostene,
posso etichettare il tuo modo di ragionare come: "Usare cannoni per sparare alle mosche"?
Allora una affermazione generale sarà falsa se anche un solo esempio la contraddice, dunque stabilire la falsità di una affermazione è molto semplice perchè mi basta trovare un esempio che la contraddice e sono a posto.
Riguardo l'altra affermazione di MRS92: "Un tratto di curva di una funzione (continua) nell'intevallo $[0;b]$ sarà sempre maggiore di 1 se b=1" porrei attenzione sul tipo di relazione: ha scritto maggiore non maggiore o uguale, allora trovo subito il controesempio
$f(x)=3$ e il tratto di curva compreso tra 0 e b vale proprio 1 quando b=1
Edit: ho letto male, se b>1 allora il tratto di funzione sarà maggiore di 1, perchè anche se cerco di tracciare il percorso più breve (che è un segmento di linea retta lungo una funzione costante) otterrò b che abbiamo detto in anticipo essere maggiore di 1.
posso etichettare il tuo modo di ragionare come: "Usare cannoni per sparare alle mosche"?
Allora una affermazione generale sarà falsa se anche un solo esempio la contraddice, dunque stabilire la falsità di una affermazione è molto semplice perchè mi basta trovare un esempio che la contraddice e sono a posto.
Riguardo l'altra affermazione di MRS92: "Un tratto di curva di una funzione (continua) nell'intevallo $[0;b]$ sarà sempre maggiore di 1 se b=1" porrei attenzione sul tipo di relazione: ha scritto maggiore non maggiore o uguale, allora trovo subito il controesempio
$f(x)=3$ e il tratto di curva compreso tra 0 e b vale proprio 1 quando b=1
Edit: ho letto male, se b>1 allora il tratto di funzione sarà maggiore di 1, perchè anche se cerco di tracciare il percorso più breve (che è un segmento di linea retta lungo una funzione costante) otterrò b che abbiamo detto in anticipo essere maggiore di 1.
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