Lunghezza di una curva
ho questa curva:
$gamma_((t)) = (t ; log(1/cos(t)))$ in $[0 , pi/4]$
devo calcolarne la lunghezza.
per prima cosa mi calcolo la funzione derivata:
$gamma'_((t)) = (1 ; -sin(t)cos(t))$
quindi mi calcolo il modulo della funzione derivata:
$|gamma'_((t))| = sqrt(1 +sin^2(t)cos^2(t) )$
a questo punto l'integrale ha forma:
$ L = int_0^(pi/4) sqrt(1 +sin^2(t)cos^2(t) ) dt$
ora però, ammesso che fin qui sia giusto, non so come proseguire...
$gamma_((t)) = (t ; log(1/cos(t)))$ in $[0 , pi/4]$
devo calcolarne la lunghezza.
per prima cosa mi calcolo la funzione derivata:
$gamma'_((t)) = (1 ; -sin(t)cos(t))$
quindi mi calcolo il modulo della funzione derivata:
$|gamma'_((t))| = sqrt(1 +sin^2(t)cos^2(t) )$
a questo punto l'integrale ha forma:
$ L = int_0^(pi/4) sqrt(1 +sin^2(t)cos^2(t) ) dt$
ora però, ammesso che fin qui sia giusto, non so come proseguire...
Risposte
La seconda componente si può riscrivere \(-\log \cos t\), quindi la sua derivata è \(\tan t\): conseguentemente:
\[
\mathcal{L} = \int_0^{\pi /4} \sqrt{1+\tan^2 t}\ \text{d} t = \int_0^{\pi /4} \frac{1}{\cos t}\ \text{d} t
\]
e l'ultimo integrale è immediato.
\[
\mathcal{L} = \int_0^{\pi /4} \sqrt{1+\tan^2 t}\ \text{d} t = \int_0^{\pi /4} \frac{1}{\cos t}\ \text{d} t
\]
e l'ultimo integrale è immediato.
ok, grazie per il suggerimento
ora però ho un problema computazionale
ho risolto così:
\[
\mathcal{L} = \int_0^{\pi /4} \sqrt{1+\tan^2 t}\ \text{d} t = \int_0^{\pi /4} \frac{1}{\cos t}\ \text{d} t
\]
da cui $1/cost = cost/(cos^2t) = cost/(1 - sin^2t)$
dove $sint = x$ e $cost dt = dx$
infine ottengo
$int dx/(1-x^2)$ scompongo in fattori semplici, integro e ottengo
$1/2 log((sqrt(2) +1)/(sqrt2- 1))$
è corretto? non mi torna col risultato che mi viene dato...
ora però ho un problema computazionale
ho risolto così:
\[
\mathcal{L} = \int_0^{\pi /4} \sqrt{1+\tan^2 t}\ \text{d} t = \int_0^{\pi /4} \frac{1}{\cos t}\ \text{d} t
\]
da cui $1/cost = cost/(cos^2t) = cost/(1 - sin^2t)$
dove $sint = x$ e $cost dt = dx$
infine ottengo
$int dx/(1-x^2)$ scompongo in fattori semplici, integro e ottengo
$1/2 log((sqrt(2) +1)/(sqrt2- 1))$
è corretto? non mi torna col risultato che mi viene dato...
Infatti deve essere $1/2\log({\sqrt{2}+2}/{\sqrt{2}-2})$...
no, non mi torna, perchè c'è il due al posto dell'uno?
Integrando $int 1/(1-x^2)dx$ utilizzando i fratti semplici si ottiene $F(x)=1/2log((x+1)/(x-1))+c$
Adesso, avendo posto $sin(t)=x$ si ottiene:
$1/2log((sin(t)+1)/(sin(t)-1))$
Ora che ho riportato alla variabile originale calcolo l'integrale definito di estremi $0$ e $\pi/4$
$1/2log((sqrt(2)/2+1)/(sqrt(2)/2-1))-1/2log((sin(0)+1)/(sin(0)-1))$
$1/2log((sqrt(2)+2)/(sqrt(2)-2))$
Adesso, avendo posto $sin(t)=x$ si ottiene:
$1/2log((sin(t)+1)/(sin(t)-1))$
Ora che ho riportato alla variabile originale calcolo l'integrale definito di estremi $0$ e $\pi/4$
$1/2log((sqrt(2)/2+1)/(sqrt(2)/2-1))-1/2log((sin(0)+1)/(sin(0)-1))$
$1/2log((sqrt(2)+2)/(sqrt(2)-2))$
il tuo risultato è sbagliato..... l'argomento del logaritmo viene negativo
Perché ci siamo dimenticati il modulo...$int f'(x)/f(x)dx=log|f(x)|+c$
ok, computazionalmente viene lo stesso identico numero, quindi abbiamo scritto la stessa cosa in due modi diversi.
grazie per l'aiuto
grazie per l'aiuto
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