Lunghezza di un arco e integrale irrazionale

[lawful]

Salve, sono nuovo del forum.

Volevo sottoporvi un problemino:

dato il raggio di una semicirconferenza, $R$
date le coordinate del centro della semicirconferenza, $[x_c,y_c]$
dati due punti appartenenti alla semicirconferenza $A=[x_1,y_1]$ e $B=[x_2,y_2]$

è possibile ricavare analiticamente la lunghezza dell'arco di circonferenza tra i due punti?

equazione della semicirconferenza: $y(x)=y_c-sqrt(R^2-(x-x_c)^2)$

provo a disegnare un grafico esplicativo, vediamo se ci riesco..

[asvg]xmin = -11; xmax = 11; ymin = -11; ymax = 11;
noaxes();
marker="dot";
stroke="blue";
arc([-10,0],[8,-6],10);
stroke="green";
dot([0,0]);
stroke="red";
line([8,-6],[0,0]);
line([-10,0],[0,0]);
stroke="black";
text([0,0], "C", above);
text([-10,0], "A", aboveleft);
text([8,-6], "B", aboveright);[/asvg]

mmm... dovrebbe essere abbastanza chiaro

insomma, se uso la formula della lunghezza di una curva generica

$\int_{x_1}^{x_2} sqrt(1+y'(x)^2) dx$

mi ritrovo con questo integrale irrazionale che non so risolvere analiticamente

$\int_{x_1}^{x_2} sqrt(1+\frac{(x-x_c)^2}{-x^2+2x_c*x-(x_c^2-R^2)}) dx$

Avete qualche suggerimento per risolvere esattamente l'integrale in questione o qualche trucchetto per capire quanto vale la lunghezza dell'arco sotteso tra i due punti di cui sopra?

Nell'attesa vi ringrazio in anticipo.

[Nikilist]

Secondo me ti conviene ricavare l'angolo (sfruttando ad esempio un cambiamento di riferimento che ponga in C l'origine) e poi sfruttare il fatto che $l=R*\theta$...

[lawful]

"Nikilist":Secondo me ti conviene ricavare l'angolo (sfruttando ad esempio un cambiamento di riferimento che ponga in C l'origine) e poi sfruttare il fatto che $l=R*\theta$...

mmm... grazie nikilist, mi hai dato un bel calcio

conoscendo le coordinate dei punti $A$, $B$, $C$, si potrebbero ricavare le equazioni delle due rette su cui giacciono i raggi $\bar{AC}$ e $\bar{BC}$ di equazioni
$y_{AC}=m_{AC}*x+q_{AC}$
$y_{BC}=m_{BC}*x+q_{BC}$

e ricavarne l'angolo compreso con la formula

$tg(\theta)=\frac{m_{AC}-m_{BC}}{1+m_{AC}*m_{BC}}$

per poi banalmente usare

$l=R*\theta$

mi benedite il ragionamento?

[Eredir]

Hai due punti $A=(x_1,y_1)$ e $B=(x_2,y_2)$ che appartengono alla circonferenza di centro $C=(x_c,y_c)$ e raggio $R$.
Prima di tutto sposti il centro della circonferenza dell'origine ottenendo $A^{\prime}=(x_1-x_c,y_1-y_c)$ e $B^{\prime}=(x_2-x_c,y_2-y_c)$.
Poi per comodità fai in modo che il primo punto si trovi a $\theta=0$, sottraendo $(x_1-x_c-R,y_1-y_c)$. In questo modo ottieni $A^{''}=(R,0)$ e $B^{''}=(x_2-x_1+R,y_2-y_1)$.
Poichè la lunghezza dell'arco è data da $L=R*|\theta_2-\theta_1|$ e $\theta_1=0$ ti basta calcolare l'angolo $\theta_1=arctan\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1+R}$.
Quindi il risultato di questo procedimento è $L=R*arctan\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1+R}$.

[lawful]

perfetto.

grazie infinite