Lunghezza di un arco di parabola
Buonasera a tutti, mi sto confrontando con un problema che mi richiede di calcolare la lunghezza dell'arco di parabola di $y=x^2$ per $x in[0,1]$.
La parametrizzazione più naturale mi è sembrata
$\vec\gamma(t) = (t,t^2) ; t in [0,1]$
$\vec\gamma'(t) = (1,2t)$
$||\vec\gamma(t)|| = sqrt(1+4t^2)$
$L(\vec\gamma) = int_0^1sqrt(1+4t^2)dt$
Come potrei approcciare questo integrale? Oppure mi conviene ricercare una parametrizzazione che mi porti ad un integrale più semplice?
EDIT:
Deve venire $sqrt(5)/2+(ln(sqrt(5)+2))/4 = 1/4(2sqrt(5)+sinh^-1(2)) = 1.4789...$
Dal risultato immagino che ci sia da fare una sostituzione fantasiosa, quindi sono perfettamente consapevole che non sia il massimo alle 7 di lunedì sera! Per questo motivo ringraziamento doppio a chiunque mi voglia aiutare.
La parametrizzazione più naturale mi è sembrata
$\vec\gamma(t) = (t,t^2) ; t in [0,1]$
$\vec\gamma'(t) = (1,2t)$
$||\vec\gamma(t)|| = sqrt(1+4t^2)$
$L(\vec\gamma) = int_0^1sqrt(1+4t^2)dt$
Come potrei approcciare questo integrale? Oppure mi conviene ricercare una parametrizzazione che mi porti ad un integrale più semplice?
EDIT:
Deve venire $sqrt(5)/2+(ln(sqrt(5)+2))/4 = 1/4(2sqrt(5)+sinh^-1(2)) = 1.4789...$
Dal risultato immagino che ci sia da fare una sostituzione fantasiosa, quindi sono perfettamente consapevole che non sia il massimo alle 7 di lunedì sera! Per questo motivo ringraziamento doppio a chiunque mi voglia aiutare.
Risposte
Serve un seno iperbolico[nota]Che non è una tetta enorme! 
[/nota]... Contacci, ma niente di che.
Vedi qui, Esempio 4 a pag. 9.
[/nota]... Contacci, ma niente di che.Vedi qui, Esempio 4 a pag. 9.
Ciao! Oltre al consiglio di gugo82, potresti provare anche ponendo $2t=\tan \theta$ ed utilizzare la relazione $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ (anche se onestamente penso che sia più laborioso, ma è pur sempre un'alternativa ed è bene conoscerla!).
Ciao Flamber,
Beh, se raccogli il $4$ sotto radice e lo porti fuori si ha:
$ \int_0^1 \sqrt(1+4t^2) \text{d}t = 2 \int_0^1 \sqrt(t^2 + 1/4) \text{d}t $
Dell'ultimo integrale scritto si è già discusso diffusamente, ad esempio qui.
Pertanto si ha:
$ \int_0^1 \sqrt(1+4t^2) \text{d}t = 2 \int_0^1 \sqrt(t^2 + 1/4) \text{d}t = [t \sqrt{t^2 + 1/4} + 1/4 \ln (\sqrt{t^2 + 1/4} + t)]_0^1 = $
$ = [\sqrt{1 + 1/4} + 1/4 \ln (\sqrt{1 + 1/4} + 1) - 1/4 ln(1/2)] = \sqrt{5}/2 + 1/4 ln(\sqrt{5}/2 + 1) + 1/4 ln(2) = $
$ = \sqrt{5}/2 + 1/4 ln(\sqrt{5} + 2) = 1/4[2 \sqrt{5} +ln(\sqrt{5} + 2)] $
Volendo sì (dai un'occhiata al thread di cui al link summenzionato e/o al suggerimento di gugo82), ma più semplicemente si può fare uso della abbastanza nota relazione
$ ln(\sqrt(x^2 + 1) + x) = sinh^-1(x) $
con $x = 2 $.
"Flamber":
Come potrei approcciare questo integrale?
Beh, se raccogli il $4$ sotto radice e lo porti fuori si ha:
$ \int_0^1 \sqrt(1+4t^2) \text{d}t = 2 \int_0^1 \sqrt(t^2 + 1/4) \text{d}t $
Dell'ultimo integrale scritto si è già discusso diffusamente, ad esempio qui.
Pertanto si ha:
$ \int_0^1 \sqrt(1+4t^2) \text{d}t = 2 \int_0^1 \sqrt(t^2 + 1/4) \text{d}t = [t \sqrt{t^2 + 1/4} + 1/4 \ln (\sqrt{t^2 + 1/4} + t)]_0^1 = $
$ = [\sqrt{1 + 1/4} + 1/4 \ln (\sqrt{1 + 1/4} + 1) - 1/4 ln(1/2)] = \sqrt{5}/2 + 1/4 ln(\sqrt{5}/2 + 1) + 1/4 ln(2) = $
$ = \sqrt{5}/2 + 1/4 ln(\sqrt{5} + 2) = 1/4[2 \sqrt{5} +ln(\sqrt{5} + 2)] $
"Flamber":
Dal risultato immagino che ci sia da fare una sostituzione fantasiosa
Volendo sì (dai un'occhiata al thread di cui al link summenzionato e/o al suggerimento di gugo82), ma più semplicemente si può fare uso della abbastanza nota relazione
$ ln(\sqrt(x^2 + 1) + x) = sinh^-1(x) $
con $x = 2 $.
"gugo82":
Serve un seno iperbolico[nota]Che non è una tetta enorme!
Vedi qui, Esempio 4 a pag. 9.
Grazie a tutti per le risposte. In generale esiste una regola ( e se non una vera e propria regola regola, anche un "segnale" ) che mi faccia capire quando è necessario utilizzare questo tipo di approccio? Essenzialmente questo si verifica quasi sempre quando si ha a che fare con parametrizzazioni del genere ( chiamiamole "curve funzioni" volendo) a causa di quella radice quadrata.
[ot]
Gugo...
[/ot]
"gugo82":
Che non è una tetta enorme!
Gugo...
[/ot]
[ot]
Gugo... [/quote]
Beh, tieni conto che potrebbe anche essere un effetto della quarantena...
[/ot]
"dissonance":
[quote="gugo82"]Che non è una tetta enorme!
Gugo...
[/quote]Beh, tieni conto che potrebbe anche essere un effetto della quarantena...
[/ot]
@Flamber:
Grazie a tutti per le risposte. In generale esiste una regola ( e se non una vera e propria regola regola, anche un "segnale" ) che mi faccia capire quando è necessario utilizzare questo tipo di approccio? Essenzialmente questo si verifica quasi sempre quando si ha a che fare con parametrizzazioni del genere ( chiamiamole "curve funzioni" volendo) a causa di quella radice quadrata.[/quote]
Non riesco a capire cosa vuoi sapere... Ad ogni modo, una lettura attenta delle Osservazioni 34 e 35 di questo pdf potrebbe essere utile.
@ dissonance e pilloeffe: Vabbé, ma è noto che mi piacciono le curve... grafico.
"Flamber":
[quote="gugo82"]Serve un seno iperbolico[nota]Che non è una tetta enorme!
Vedi qui, Esempio 4 a pag. 9.
Grazie a tutti per le risposte. In generale esiste una regola ( e se non una vera e propria regola regola, anche un "segnale" ) che mi faccia capire quando è necessario utilizzare questo tipo di approccio? Essenzialmente questo si verifica quasi sempre quando si ha a che fare con parametrizzazioni del genere ( chiamiamole "curve funzioni" volendo) a causa di quella radice quadrata.[/quote]
Non riesco a capire cosa vuoi sapere... Ad ogni modo, una lettura attenta delle Osservazioni 34 e 35 di questo pdf potrebbe essere utile.
@ dissonance e pilloeffe: Vabbé, ma è noto che mi piacciono le curve... grafico.
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