Lunghezza di curva

[freekiller]

Ciao a tutti, non riesco a fare il calcolo della lunghezza di questa curva:
$ \gamma(t) =(1/4cos(2t),sint), 0\let \le pi. $
Mi trovo quindi:
$ \gamma'(t) =(-1/2sin(2t),cost) $ e
$ L(\gamma)=int_(0)^(pi) root()(1/4sin^2(2t)+cos^2t)\ \ \dt $ che ho riscritto, usando le formule di duplicazione, come
$ int_(0)^(pi) |cost|root()(sin^2(t)+1)\ \ \dt =2int_(0)^(pi/2) costroot()(sin^2(t)+1)\ \ \dt $
e provando un'integrazione per parti mi ritrovo
$ 2(sintroot()(sin^2t+1)|_0^(pi/2)-int_(0)^(pi/2) (sin^2tcost)/(sqrt(sin^2t+1)) dt) $
poi per il secondo integrale non saprei come procedere. Un suggerimento del testo dice che può essere utile utilizzare un'integrazione per parti. Qualcuno che sappia aiutarmi?

[gugo82]

Ma che party… $cos x$ è la derivata di $sin x$.

[pilloeffe]

Ciao Ingegnato,

"Ingegnato":e provando un'integrazione per parti mi ritrovo [...]

In realtà non serve neanche questa prima integrazione per parti, perché ponendo $u := sin t $ si ottiene subito

$ \int cos t\root()(sin^2 t+1)\text{d}t = \int \root()(u^2+1)\text{d}u $

L'ultimo integrale scritto è già stato ampiamente discusso sul forum, ad esempio qui, ma anche qui.

[freekiller]

Ok, con due sostituzioni sono arrivato alla conclusione:
$ L(gamma)= 2(1/2sintsqrt(1+sin^2t)+1/2ln(sint+sqrt(1+sin^2t)))|_0^(pi/2)=sqrt2+ln(1+sqrt2) $
passando comunque per l'integrale di una secante al cubo, che non è proprio la prima che insegnano a fare.
Grazie mille per la dritta!

[pilloeffe]

"Ingegnato":passando comunque per l'integrale di una secante al cubo, [...]

Decisamente non necessario, infatti se dai un'occhiata al primo link del mio post precedente si ha:

$\int sqrt{u^2 + 1}\text{d}u = \frac{1}{2}[u \sqrt{u^2 + 1} + ln(u + \sqrt{u^2 + 1})]+ c $

Ricordando che si era posto $u := sin t $ si trova subito

$ \int cos t \sqrt(sin^2 t+1) \text{d}t = \frac{1}{2}[sin t \sqrt{sin^2 t + 1} + ln(sin t + \sqrt{sin^2 t + 1})]+ c $
Quindi si ha:

$L(\gamma) = 2 \int_0^{\pi/2} cos t \sqrt(sin^2 t+1) \text{d}t = [sin t \sqrt{sin^2 t + 1} + ln(sin t + \sqrt{sin^2 t + 1})]_0^{\pi/2} = $
$ = \sqrt{2} + ln(1 + \sqrt{2}) $