Lunghezza del grafico di una curva
Ho un problema con questo esercizio che mi chiede di calcolare la lunghezza del grafico di $f(x)=1-(1-x^(2/3))^(3/2)$. Avendo parametrizzato la curva e avendo calcolato il dominio della funzione, che mi risulta $-1
Risposte
Forse dipende da come hai parametrizzato tu la curva e da come lo ha fatto chi ha svolto l'esercizio. Il dominio della funzione è dato dalla condizione $1-x^{2/3}\geq 0$ da cui [tex]$\sqrt[3]{x^2}\leq 1$[/tex] e quindi $x^2\leq 1$ che implica la soluzione da te trovata.
Ora, se tu hai parametrizzato con $t=x$ allora gli estremi di integrazione sono quelli che dici. Ma se la parametrizzazione è diversa, possibile che cambino.
Ora, se tu hai parametrizzato con $t=x$ allora gli estremi di integrazione sono quelli che dici. Ma se la parametrizzazione è diversa, possibile che cambino.
La parametrizzazione è la stessa che hai fatto tu, anche nell'esercizio svolto. Allora sarà un refuso delle mie dispense...
Mi sa di sì, allora. A meno che non ci sia qualche altra richiesta esplicita, per la lunghezza ti basta calcolare il seguente integrale:
[tex]$\int_{-1}^1\sqrt{1+[f'(x)]^2}\ dx$[/tex]
visto che parametrizzi $t=x$.
[tex]$\int_{-1}^1\sqrt{1+[f'(x)]^2}\ dx$[/tex]
visto che parametrizzi $t=x$.
Nessun'altra richiesta esplicita. Grazie mille ciampax!
Oddio mi sono reso conto ora di una cosa: non puoi calcolare la lunghezza con quegli estremi! In mezzo c'è $x=0$ che è di discontinuità per la funzione integranda. Infatto
[tex]$f'(x)=\frac{(1-x^{2/3})^{1/2}}{x^{1/3}}$[/tex]
per cui devi calcolare
[tex]$\int_{-1}^1\sqrt{1+\frac{1-x^{2/3}}{x^{2/3}}}\ dx=\int_{-1}^1\sqrt{\frac{1}{x^{2/3}}}\ dx=\int_{-1}^1\frac{1}{|x|^{1/3}}\ dx$[/tex]
Per calcolare tale integrale, spezzalo sui duei intervalli $(-1,0)$ e $(0,1)$: noterai che il valore è lo stesso, per cui puoi scrivere tutto l'integrale come
[tex]$2\int_0^1 x^{-1/3}\ dx$[/tex]
Ora, questa funzione risulta integrabile (perché?) quindi puoi procedere.
[tex]$f'(x)=\frac{(1-x^{2/3})^{1/2}}{x^{1/3}}$[/tex]
per cui devi calcolare
[tex]$\int_{-1}^1\sqrt{1+\frac{1-x^{2/3}}{x^{2/3}}}\ dx=\int_{-1}^1\sqrt{\frac{1}{x^{2/3}}}\ dx=\int_{-1}^1\frac{1}{|x|^{1/3}}\ dx$[/tex]
Per calcolare tale integrale, spezzalo sui duei intervalli $(-1,0)$ e $(0,1)$: noterai che il valore è lo stesso, per cui puoi scrivere tutto l'integrale come
[tex]$2\int_0^1 x^{-1/3}\ dx$[/tex]
Ora, questa funzione risulta integrabile (perché?) quindi puoi procedere.
grazie ciampax per la precisazione! Semplificando la funzione poi mi ero comunque già accorto che bisognava spezzare in due intervalli l'integrale e togliere il valore assoluto.
Cosa che invece non occorreva se integravi tra 1/2 e 1 come nel "famoso" esercizio svolto...boh, mistero su quegli estremi di integrazione.
Cosa che invece non occorreva se integravi tra 1/2 e 1 come nel "famoso" esercizio svolto...boh, mistero su quegli estremi di integrazione.
Ma se integra tra $1/2$ e $1$ non dovrebbe ottenere il valore giusto... mmmm... mi dici cosa fa in quell'esercizio, almeno i punti salienti?
Infatti, il risultato dell'esercizio è dato dall'integrazione tra $1/2$ e $1$ ed è quindi diverso dal mio. Ti posto il mio procedimento:
$ int_(-1)^(+1) ||(i+[(3/2)(1-t^(2/3))^(1/2)(2/3)t^(-1/3)]j)||dt = int_(-1)^(+1) sqrt(1+(9/4)(1+t^(2/3))(4/9)t^(-2/3)) dt = int_(-1)^(+1) sqrt(1+t^(-2/3)-1) dt =$ $int_(-1)^(+1) |t|^(-1/3) dt = int_(-1)^(0) -t^(-1/3) dt + int_(0)^(+1) t^(-1/3) dt = [(-3/2)t^(2/3)]_-1 ^0 + [(3/2)t^(2/3)]_0 ^1 =3/2+3/2=3$
$ int_(-1)^(+1) ||(i+[(3/2)(1-t^(2/3))^(1/2)(2/3)t^(-1/3)]j)||dt = int_(-1)^(+1) sqrt(1+(9/4)(1+t^(2/3))(4/9)t^(-2/3)) dt = int_(-1)^(+1) sqrt(1+t^(-2/3)-1) dt =$ $int_(-1)^(+1) |t|^(-1/3) dt = int_(-1)^(0) -t^(-1/3) dt + int_(0)^(+1) t^(-1/3) dt = [(-3/2)t^(2/3)]_-1 ^0 + [(3/2)t^(2/3)]_0 ^1 =3/2+3/2=3$
Sì che è esattamente quello che ho fatto io (e che secondo me è ciò che bisogna fare). Tra l'altro, la curva che hai segnalato è simmetrica rispetto all'asse delle ascisse (infatti $f(-x)=f(x)$) per cui già a priori uno può calcolare la lunghezza solo tra $0$ e $-1$ e poi moltiplicare per due. Se hai tempo, magari, posteresti quello che c'è scritto sulla risoluzione con $1/2$? Così cerco di capire cosa fa.
P.S.: spezza in due il tuo calcolo, altrimenti bisogna scrollare la pagina verso destra e non è bello!
P.S.: spezza in due il tuo calcolo, altrimenti bisogna scrollare la pagina verso destra e non è bello!
Non serve che posti tutto l'esercizio svolto...ti basta sapere che la parametrizzazione della curva è la stessa, sceglie come estremi di integrazione $1/2$ e $1$ e arrivato a questo punto: $int_(1/2)^(1) |t|^(-1/3)$ procede togliendo il valore assoluto e calcola $[(3/2)t^(2/3)]_(1/2) ^(1) =3/2-(3/2)(1/2)^(2/3)$.
Il mistero resta proprio la scelta degli estremi di integrazione...
Il mistero resta proprio la scelta degli estremi di integrazione...
Mah... strana sta cosa!
Come ha osservato Ciampax, la derivata ha un punto di discontinuità nell'origine, e quindi il teorema che ci da' la classica formula della lunghezza di una curva rettificabile, non è applicabile salvo che in intervalli del tipo: [tex][-1, -\epsilon][/tex] e [tex][\epsilon,1][/tex] ove, come al solito [tex]0<\epsilon[/tex], dovendo però essere anche [tex]\epsilon \le 1[/tex].
Eseguendo i due integrali, si trovano due espressioni dipendenti da [tex]\epsilon[/tex], facendolo tendere a zero, si trova come lunghezza della curva il valore già ottenuto sopra, cioè [tex]3[/tex].
Eseguendo i due integrali, si trovano due espressioni dipendenti da [tex]\epsilon[/tex], facendolo tendere a zero, si trova come lunghezza della curva il valore già ottenuto sopra, cioè [tex]3[/tex].
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