Lunghezza curva regolare a tratti
Ciao, amici!
So che se la parametrizzazione $\vec r : [a,b]->RR^3$ di una curva è di classe $C^1( "["a,b"]" )$ allora la lunghezza della curva è
\[L=\int_{a}^{b}||\vec r'(t)||\text{d}t.\]
Il mio testo dice che vale anche se la curva è regolare a tratti, il che direi significhi che la formula è valida anche se $\vec r$ è di classe $C^1$ "eccetto un numero finito di valori di $t$"* dell'intervallo $[a,b]$ (regolare a tratti può anche significare che in un numero finito di punti \(||\vec r'||=0\), ma questo non inficia direi mai la validità della formula per la lunghezza).
Ora, se $\vec r'(t)$ presenta discontinuità di prima o terza specie, mi sembra chiaro che la formula di sopra è valida grazie alle proprietà degli integrali delle funzioni definite a tratti, ma non mi è per nulla chiaro se ed eventualmente perché la formula si applica se in qualche punto la derivata non ha limite o non è limitata (cioè se presenta discontinuità di terza specie)...
Qualcuno potrebbe essere così buono da chiarirmi questo dubbio?
Grazie di cuore a tutti!!!
*Definizione del mio libro: "una curva $\gamma$ si dice regolare (o liscia) se ammette una parametrizzazione $\vec r$ tale che $\vec r$ è di classe $C^1$ e \(||\vec r'||=0\) per ogni $t$. Si dice invece regolare a tratti se le condizioni precedenti valgono eccetto un numero finito di valori di $t$". Si intende direi $t \in [a,b]$ dato che, dice sempre il mio testo "una curva è definita da una funzione continua $vec r:[a,b]->RR^3$, la sua parametrizzazione, e dal suo sostegno $\gamma=\vec r( "["a,b"]" )$".
So che se la parametrizzazione $\vec r : [a,b]->RR^3$ di una curva è di classe $C^1( "["a,b"]" )$ allora la lunghezza della curva è
\[L=\int_{a}^{b}||\vec r'(t)||\text{d}t.\]
Il mio testo dice che vale anche se la curva è regolare a tratti, il che direi significhi che la formula è valida anche se $\vec r$ è di classe $C^1$ "eccetto un numero finito di valori di $t$"* dell'intervallo $[a,b]$ (regolare a tratti può anche significare che in un numero finito di punti \(||\vec r'||=0\), ma questo non inficia direi mai la validità della formula per la lunghezza).
Ora, se $\vec r'(t)$ presenta discontinuità di prima o terza specie, mi sembra chiaro che la formula di sopra è valida grazie alle proprietà degli integrali delle funzioni definite a tratti, ma non mi è per nulla chiaro se ed eventualmente perché la formula si applica se in qualche punto la derivata non ha limite o non è limitata (cioè se presenta discontinuità di terza specie)...
Qualcuno potrebbe essere così buono da chiarirmi questo dubbio?
Grazie di cuore a tutti!!!
*Definizione del mio libro: "una curva $\gamma$ si dice regolare (o liscia) se ammette una parametrizzazione $\vec r$ tale che $\vec r$ è di classe $C^1$ e \(||\vec r'||=0\) per ogni $t$. Si dice invece regolare a tratti se le condizioni precedenti valgono eccetto un numero finito di valori di $t$". Si intende direi $t \in [a,b]$ dato che, dice sempre il mio testo "una curva è definita da una funzione continua $vec r:[a,b]->RR^3$, la sua parametrizzazione, e dal suo sostegno $\gamma=\vec r( "["a,b"]" )$".
Risposte
Mi è venuto in mente che forse potrebbe essere possibile, anche in un caso in cui in un punto $b$ di discontinuità in cui $\vec r'(t)$ non ha limite finito, definire la lunghezza su un chiuso di tipo $[a,T]$ con $T->b$, cioè come $\lim_{T \rightarrow b} \int_{a}^{T}||\vec r'(t)||\text{d}t$ (con integrale non necessariamente convergente)... spero di non dire fesserei immani...
"DavideGenova":
Ora, se $\vec r'(t)$ presenta discontinuità di prima o terza specie, mi sembra chiaro che la formula di sopra è valida grazie alle proprietà degli integrali delle funzioni definite a tratti, ma non mi è per nulla chiaro se ed eventualmente perché la formula si applica se in qualche punto la derivata non ha limite o non è limitata (cioè se presenta discontinuità di terza specie)...
E in quel caso non è regolare a tratti. Questi casi si escludono dalla definizione. Per definizione una curva regolare a tratti è ottenuta incollando un numero finito di curve regolari e quindi, anche nei punti di giunzione, il vettore velocità esiste da destra e da sinistra. Se non escludi queste patologie ficchi nella classe delle curve regolari a tratti anche delle cose non integrabili.
Mi è sorto un dubbio riguardo la costruzione che vedo fare per esempio qui dell'ascissa curvilinea.
Noto che sarebbe valida anche per curve regolari a tratti se la derivata \(\mathbf{r}'(t)\) è sempre non nulla.
Si fa quest'assunzione nel caso di curve regolari a tratti?
$\infty$ grazie e buona Pasqua!!!
Noto che sarebbe valida anche per curve regolari a tratti se la derivata \(\mathbf{r}'(t)\) è sempre non nulla.
Si fa quest'assunzione nel caso di curve regolari a tratti?
$\infty$ grazie e buona Pasqua!!!
Mi è sorto un dubbio riguardo la costruzione che vedo fare per esempio qui dell'ascissa curvilinea.
Noto che tale costruzione sarebbe valida permettendo all'ascissa curvilinea \(s:[a,b]\to[0,L]\) di una curva \(\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^n\) di avere sempre inversa "derivabile a tratti" (cioè con limiti della derivata sempre esistenti e finiti anche nelle discontinuità, che sarebbero comunque in numero finito) anche per curve regolari a tratti se la derivata \(\mathbf{r}'(t)\) è sempre non nulla.
Si fa quest'assunzione nel caso di curve regolari a tratti?
$\infty$ grazie e buona Pasqua!!!
Noto che tale costruzione sarebbe valida permettendo all'ascissa curvilinea \(s:[a,b]\to[0,L]\) di una curva \(\mathbf{r}:[a,b]\to\mathbb{R}^n\) di avere sempre inversa "derivabile a tratti" (cioè con limiti della derivata sempre esistenti e finiti anche nelle discontinuità, che sarebbero comunque in numero finito) anche per curve regolari a tratti se la derivata \(\mathbf{r}'(t)\) è sempre non nulla.
Si fa quest'assunzione nel caso di curve regolari a tratti?
$\infty$ grazie e buona Pasqua!!!
"DavideGenova":
Mi è sorto un dubbio riguardo la costruzione che vedo fare per esempio qui dell'ascissa curvilinea.
Noto che sarebbe valida anche per curve regolari a tratti se la derivata \(\mathbf{r}'(t)\) è sempre non nulla.
Si fa quest'assunzione nel caso di curve regolari a tratti?
$\infty$ grazie e buona Pasqua!!!
SiSi
$\aleph_1$ grazie!!!!!
Prego, scusa la lapidarietà di prima, ero con il telefonino. E' chiaro che se ammetti parametrizzazioni con velocità nulla potresti perdere l'esistenza dell'ascissa curvilinea, che è la base su cui si fonda la geometria delle curve.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo