Lunghezza curva e relativo integrale

[_Matteo_C1]

Ciao! Mi servirebbe gentilmente una mano con un esercizio:
Calcolare la lunghezza della curva:
$\phi(t)\{(x(t)=e^t +e^-t),(y(t) = e^t -e^-t):}$
$t\in[-2,1]$
---------
Dovrei calcolare:
$\int_{-2}^{1} ||\phi'(t)|| dx$
ossia:
$\int_{-2}^{1} sqrt( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dx = \int_{-2}^{1} sqrt( (e^t -e^-t)^2 + (e^t +e^-t)^2 ) dx=\int_{-2}^{1} sqrt( 2e^(2t)+2e^(-2t) ) dx$
$=sqrt(2)\int_{-2}^{1} sqrt(e^(2t) +e^(-2t)) dx$
E qui mi fermo.. Ho pensato di riscrivere la quantità sotto radice come coseno iperbolico, ma poi mi ritrovo un integrale ancora irrisolvibile (per me!). Oppure ho provato a sostituire $e^t$ con $u$, ma mi ritorna un integrale di questo tipo:
$\int_{-2}^{1} sqrt(u+u^-1) du$.
Qualche suggerimento?

[Alxxx28]

"_Matteo_C":Oppure ho provato a sostituire $e^t$ con $u$, ma mi ritorna un integrale di questo tipo:
$\int_{-2}^{1} sqrt(u+u^-1) du$.

In realtà non viene esattamente così:
dato che [tex]e^t=u[/tex], allora [tex]t=logu[/tex] e [tex]dt=\frac{du}{u}[/tex]
e poi tieni conto che [tex]e^{2t}=u^2[/tex]

[ciampax]

...e inoltre considera che, essendo un'integrale dfinito, dovrai anche cambiare gli estremi di integrazione: [tex]t=-2\to u=e^{-2},\ t=1\to u=e$[/tex]

[_Matteo_C1]

Grazie ragazzi! Ho riprovato, vediamo se è corretto:
(prima risolvo l'integrale indefinito !)

Ponendo $e^t = u$
(dunque: $t = lnu$ e il differenziale : $dt=1/u *du$)
risulta:
$sqrt(2)\int 1/u sqrt(u^2 + 1/u^2)du$

$sqrt(2)\int sqrt(1 + 1/u^4)du$

$sqrt(2)\int sqrt((u^4 +1)/u^4)du$

$sqrt(2)\int sqrt((u^4 +1))/u^2du$

Pongo ora $u=sinhy$ (da cui $du=coshy dy$)
e risulta:

$sqrt(2)\int coshysqrt(((sinhy)^2+1))/(sinhy)^2 dy$

ossia:

$sqrt(2)\int (cotanh y)^2 dy$

$-sqrt(2)\int -(cotanh y)^2+1-1 dy = -sqrt(2)\int -(cotanh y)^2+1dy+ sqrt(2)\int1 dy$

$-sqrt2 * cotanhy +sqrt2 *y + K$

E' giusto? C'era un modo piu veloce per risolverlo? Grazie

[ciampax]

Guarda che [tex]\sqrt{u^4+1}=\sqrt{\sinh^4 y+1}$[/tex]... l'integrale che stai cercando di calcolare è una brutta bestia!