Lunghezza curva e curvatura
Data la curva $r(t)=t^2i+t^4j$ dovrei trovare la sua lunghezza in funzione di t, come posso fare?
Premetto che ho già provato a derivare la funzione ma l'integrale della norma sotto radice mi risulta essere molto difficile da calcolare, anche riparametrizzando la funzione ponendo $t^2=k$.
Come posso procedere anche in vista del fatto che poi dovrei trovare la curvatura della funzione in $t=0$?
Grazie!
Premetto che ho già provato a derivare la funzione ma l'integrale della norma sotto radice mi risulta essere molto difficile da calcolare, anche riparametrizzando la funzione ponendo $t^2=k$.
Come posso procedere anche in vista del fatto che poi dovrei trovare la curvatura della funzione in $t=0$?
Grazie!
Risposte
Direi di fare così:
$$\mathscr{L}\left(r(t)\right)=\int_a^b \sqrt{4t^2+16t^6}dt=\int_a^b \sqrt{4t^2(1+4t^4)}dt=\int_a^b 2|t|\sqrt{1+4t^4}dt$$
Dove $|t|$ va discusso in base a come varia $t$ in $[a,b]$; ora dovrebbe essere più fattibile.
$$\mathscr{L}\left(r(t)\right)=\int_a^b \sqrt{4t^2+16t^6}dt=\int_a^b \sqrt{4t^2(1+4t^4)}dt=\int_a^b 2|t|\sqrt{1+4t^4}dt$$
Dove $|t|$ va discusso in base a come varia $t$ in $[a,b]$; ora dovrebbe essere più fattibile.
E' esattamente il mio procedimento, ma poi come lo calcolo quell'integrale??
Dovrebbe essere risolubile con funzioni iperboliche ma questo rende i calcoli troppo difficili, anche in relazione a quanto chiesto nei punti successivi dell'esercizio.
Altre idee?
Dovrebbe essere risolubile con funzioni iperboliche ma questo rende i calcoli troppo difficili, anche in relazione a quanto chiesto nei punti successivi dell'esercizio.
Altre idee?
Perché troppo difficile? La sostituzione che proponi è corretta, arrivi a
$$\frac{1}{2} \int_c^d \cosh^2 (k) dk=\frac{1}{2} \int_c^d \left(\frac{e^k+e^{-k}}{2}\right)^2 dk$$
Che si può fare molto agevolmente; con $c$ e $d$ ho indicato come variano gli estremi dopo la sostituzione.
$$\frac{1}{2} \int_c^d \cosh^2 (k) dk=\frac{1}{2} \int_c^d \left(\frac{e^k+e^{-k}}{2}\right)^2 dk$$
Che si può fare molto agevolmente; con $c$ e $d$ ho indicato come variano gli estremi dopo la sostituzione.
come posso poi calcolare la curvatura in t=0?
Oltre al fatto che a me l'integrale risulta $2Sinh(k)$ calcolato tra $c$ e $d$
Supponendo $a\geq0$ e $b>0$, si ha che
$$\int_a^b 2|t|\sqrt{1+4t^4}dt=\int_a^b 2t\sqrt{1+(2t^2)^2}dt=\frac{1}{2} \int_a^b 4t\sqrt{1+(2t^2)^2}dt$$
Sostituendo $2t^2=\sinh (k)$, risulta $4tdt=\cosh (k) dk$, dunque
$$\frac{1}{2} \int_a^b 4t\sqrt{1+(2t^2)^2}dt=\frac{1}{2} \int_{\sinh^{-1}{(a)}}^{\sinh^{-1}{(b)}} \sqrt{1+\sinh^2(k)}\cosh(k) dk=\int_c^d \cosh^2(k) dk$$
Dove $c=\sinh^{-1}(a)$ e $d=\sinh^{-1}(b)$.
$$\int_a^b 2|t|\sqrt{1+4t^4}dt=\int_a^b 2t\sqrt{1+(2t^2)^2}dt=\frac{1}{2} \int_a^b 4t\sqrt{1+(2t^2)^2}dt$$
Sostituendo $2t^2=\sinh (k)$, risulta $4tdt=\cosh (k) dk$, dunque
$$\frac{1}{2} \int_a^b 4t\sqrt{1+(2t^2)^2}dt=\frac{1}{2} \int_{\sinh^{-1}{(a)}}^{\sinh^{-1}{(b)}} \sqrt{1+\sinh^2(k)}\cosh(k) dk=\int_c^d \cosh^2(k) dk$$
Dove $c=\sinh^{-1}(a)$ e $d=\sinh^{-1}(b)$.
Si hai ragione, avevo sbagliato un calcolo; ma da questo poi dovrei parametrizzare la mia funzione sostituendo a $t$ la $s$, dove indico con $s$ la lunghezza al variare di $t$; ciò ovviamente risulta complicato con le funzioni iperboliche.
Come posso fare altrimenti?
Come posso fare altrimenti?
"LukeV98":
Si hai ragione, avevo sbagliato un calcolo; ma da questo poi dovrei parametrizzare la mia funzione sostituendo a $t$ la $s$, dove indico con $s$ la lunghezza al variare di $t$; ciò ovviamente risulta complicato con le funzioni iperboliche.
Come posso fare altrimenti?
Se lo scopo era trovare la curvatura, allora non ha senso fare quell'integrale dato che dopo useresti la derivata della funzione di lunghezza d'arco.
Per trovare la curvatura k puoi scegliere la strada lunga oppure semplicemente trovare la curva f(x) che in questo caso è davvero banale:
$x=t^2$ quindi $y=x^2=f(x)$.
$ k=(f''(x))/sqrt((1+[f'(x)]^2)^3)=2/sqrt((1+4x^2)^3)=2/sqrt((1+4t^4)^3 $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo